Matematik A/Vektorer i planen

En vektor adskiller sig fra et normalt tal (som kaldes en skalar) ved at det ud over en størrelse også har en retning. Vektorer bruges bl.a. i fysik til at angive kræfter, f.eks. er tyngdekræften en vektor der peger mod jordens centrum og har en størrelse på 9,82 Newton i Danmark.

Definition

Vektorerne ${\vec {a}}$ og ${\vec {b}}$ i et koordinatsystem, a er tegnet to gange med forskellige begyndelsespunkter.

Alt hvad der har både en retning og en størrelse, kan omtales som en vektor. Det gælder f.eks.:

• Fysiske kræfter
• En hastighed

En vektor noteres som et bogstav, med en pil over. En vektor v ville noteres som ${\vec {v}}$. En vektor med koordinaterne x og y opskrives således: ${\vec {v}}={x \choose y}$

Hvilket betyder at vektoren strækker sig x ad x-aksen og y ad y-aksen. Dette danner basis for retningen. Lægger man en trekant ind og opfatter x og y som kateterne i en retvinklet trekant, vil længden af hypotenusen være størrelsen af vektoren.

I et koordinatsystem tegner man vektorer som pile fra startpunktet til slutpunktet. En vektor kan placeres overalt i koordinatsystemet, og den samme vektor kan også tegnes flere gange. Slutpunktet afhænger selvfølgelig af startpunktet.

På billedet er de to vektorer ${\vec {a}}={3 \choose 2}$ og ${\vec {b}}={2 \choose -1}$ tegnet. ${\vec {a}}$ er tegnet to gange, den ene med begyndelsespunkt i (1,-1) hvilket giver et slutpunkt i (4,1) og den anden med begyndelsespunkt i (2,1) hvilket giver den slutpunkt i (5,3). ${\vec {b}}$ er tegnet i med begyndelsespunkt i (0,3) hvilket giver slutpunkt i (2,2).

Nul-vektoren

Ved nul-vektoren forstås den vektor, der har længde 0, og den betegnes ${\vec {0}}$. Denne vektor er den eneste vektor der ikke har en retning. Hvis man tegner nul-vektoren i et koordinatsystem er startpunktet og slutpunktet ens.

Stedvektor

En vektor har som sagt normalt ikke noget fast begyndelsespunkt, og kan placeres efter lyst og behov forskellige steder i et koordinatsystem. (se illustrationen) En stedvektor derimod har altid begyndelsespunkt i punktet (0,0). Det betyder også at en stedvektor altid peger på punktet der har samme koordinater som sig selv, dvs. at stedvektoren ${4 \choose -3}$ f.eks. altid ender i punktet (4,-3).

Normalvektor

En normalvektor er en vektor der står vinkelret på sin egentlige vektor. Disse benævnes også som tværvektorere, og dem ser vi mere på senere i kapitlet.

Enhedsvektor

En vektor med længden 1 er en enhedsvektor. Længden på en vektor svarer til længden af hypotenusen på den trekant, som vektoren danner. (Se "Længde af vektor"-afsnittet længere nede)

Forlængelse

Man kan forlænge eller forkorte en vektors længde med faktor n, ved at gange koordinaterne med faktor n. Det betyder algebraisk at,

$n\cdot {\vec {a}}={n\cdot x \choose n\cdot y}$

Brugen af forlængelse af vektorere bliver bl.a. nødvendigt inden for emnet vektorer i rummet.

Længde af vektor

Opfatter man en vektor som en retvinklet trekant, hvor x og y er længderne på kateterne, så er selve vektoren hypotenusen. Fra geometrien og trigonometrien ved vi at længden på en hypotenuse kan findes ved brug af Pythagoras' læresætning. Sammenfattet betyder det at længden for vektoren:

${\vec {a}}={x \choose y}$

Kan findes ved formlen:

$|{\vec {a}}|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

Bemærk at man benævner en vektors længde, ved at sætte |-tegn rundt om vektorens navn.

Addition & subtraktion

Man kan addere to vektorer med hinanden. Man lægger vektorer sammen ved at lægge deres x-koordinater og y-koordinater individuelt sammen. Af dette får du ét nyt x-koordinat og ét nyt y-koordinat:

${x_{1} \choose y_{1}}+{x_{2} \choose y_{2}}={x_{1}+x_{2} \choose y_{1}+y_{2}}$

Som eksempel kan vi sige at vi har to vektorer:

${\vec {a}}={3 \choose 3}$ og ${\vec {b}}={2 \choose -1}$

De to vil man addere således:

${\vec {a}}+{\vec {b}}={3 \choose 3}+{2 \choose -1}={3+2 \choose 3+(-1)}={5 \choose 2}$

Grafisk kan man se ${\vec {a}}+{\vec {b}}$ dannes ved at afsætte ${\vec {b}}$ i forlængelse af ${\vec {a}}$. Det vil sige at man placerer ${\vec {b}}$ med begyndelsespunkt i ${\vec {a}}$'s slutpunkt, eller omvendt, og tegner en vektor fra ${\vec {a}}$'s begyndelsespunkt til ${\vec {b}}$'s slutpunkt. Det er illustreret her:

$\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|\leq \left|{\vec {a}}\right|+\left|{\vec {b}}\right|$ (Trekantsuligheden)

Ved subtraktion er princippet det samme. Men for en god ordens skyld tager vi alligevel en algebraisk fremvisning:

${x_{1} \choose y_{1}}-{x_{2} \choose y_{2}}={x_{1}-x_{2} \choose y_{1}-y_{2}}$

Er der tale om mere end to vektorere der skal lægges sammen eller trækkes fra, er princippet det samme med, at x-koordinaterne lægges sammen og y-koordinaterne lægges sammen.

Skalarprodukt

Man kan ikke multiplicere to vektorer og få en ny vektor som resultat. Istedet kan man finde skalarproduktet (eller prikproduktet) af to vektorer. Resultatet er, som navnet lægger op til, en skalar, altså et tal. For at undgå forvirring må man aldrig sige, at man ganger to vektorer - i stedet "prikker" man dem. Skalarproduktet af to vektorer ${\vec {a}}={x_{1} \choose y_{1}}$ og ${\vec {b}}={x_{2} \choose y_{2}}$defineres som:

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={x_{1} \choose y_{1}}\cdot {x_{2} \choose y_{2}}=x_{1}\cdot x_{2}+y_{1}\cdot y_{2}$

En anvendelse af skalarproduktet er til at finde en vinkel mellem to vektorer. Der gælder følgende sammenhæng:

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos(v)$

Beviset for sætningen følger af, at skalarproduktet er uafhængigt af det valgte koordinatsystem. Skalarproduktet mellem to vektorer ændrer sig altså ikke, hvis vi roterer koordinatsystemets akser, selvom vektorernes koordinater ændrer sig.

Vi forestiller os nu, at vi drejer koordinatsystemet, så ${\vec {a}}$ ligger parralelt med 1. aksen. Den må nu have koordinaterne ${|a| \choose 0}$.

Hvis vinklen mellem ${\vec {a}}$ og ${\vec {b}}$ (i positiv omløbsretning) nu betegnes v, må ${\vec {b}}$ have koordinaterne ${{\vec {|}}b|\cdot \cos(v) \choose {\vec {|}}b|\cdot \sin(v)}$.

Vi kan nu udregne skalarproduktet mellem ${\vec {a}}$ og ${\vec {b}}$:

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={|a| \choose 0}\cdot {{\vec {|}}b|\cdot \cos(v) \choose {\vec {|}}b|\cdot \sin(v)}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos(v)$

Tværvektor

En tværvektor ${\hat {\vec {a}}}$ er den vektor som fremkommer ved at dreje en vilkårlig vektor 90° mod urets retning (positiv omløbsretning)

Hvis en vektor har koordinatsættet ${\vec {a}}={x \choose y}$ har tværvektoren koordinatsættet ${\hat {\vec {a}}}={-y \choose x}$

Determinant

Den numeriske værdi af determinanten svarer til arealet af det parallelogram som de to vektorer udspænder sammen.

Et bestemt skalarprodukt skal vise sig at blive meget nyttigt senere hen. Dette kaldes determinanten, og givet to vektorer ${\vec {v}}={a \choose b}$ og ${\vec {w}}={c \choose d}$, defineres determinanten på følgende måde:

$\det({\vec {v}},{\vec {w}})={\hat {\vec {v}}}\cdot {\vec {w}}={-b \choose a}\cdot {c \choose d}=ad-cb$

Det skal understreges at $\det({\vec {a}},{\vec {b}})\neq \det({\vec {b}},{\vec {a}})$. I stedet gælder det, hvilket man kan overbevise sig selv om ved udregning, at $\det({\vec {a}},{\vec {b}})=-\det({\vec {b}},{\vec {a}})$.

Desuden er $\det({\vec {a}},{\vec {b}})=|a|\cdot |b|\cdot \sin(\theta )$, hvor $\theta$ er vinklen mellem vektorerne. da a bare er drejet 90 grader i forhold til prikproduktet. Og derfor bliver det til sin i stedet for cos