Matematik A/Trigonometri

I dette kapitel skal vi se nærmere på trigonometri. Trigonometri anvendes til at bestemme ukendte sider og vinkler i retvinklede, såvel som vilkårlige, trekanter.

Enhedscirklen

Enhedscirklen er en ganske bestemt cirkel, som har stor betydning i geometrien. Enhedscirklen er den cirkel, som har centrum i punktet (0,0) (som ofte kaldes oregon og betegnes O) og radius 1.

Figur 1: Enhedscirklen

Man angiver vinkler i enhedscirklen ud fra den positive x-akse. Vinkler der måles mod urets omløbsretning er positive, og vinkler der måles med urets omløbsretning er negative.

Ud fra disse oplysninger kan vi med det samme fastslå at enhedscirklen skærer følgende punkter:

• (1,0) til højre for oregon (0°, 360°)
• (0,1) over oregon (90°)
• (-1,0) til venstre for oregon (180°)
• (0,-1) under oregon(270°)

Relevante opgaver

Sinus og cosinus

Vi har nu set på 4 punkter på enhedscirklen, som vi umiddelbart kender koordinaterne på, og det er desværre ikke så mange, når man tager i betragtning at der er 360° på en cirkel. Vi har imidlertid et par funktioner der kan løse denne problematik: sinus og cosinus.

For at regne med sinus- og cosinus-funktionerne skal man generelt bruge en lommeregner, da de kræver nogle meget lange udregninger. Tidligere slog man op i tabeller når man skulle regne med de trigonometriske funktioner, men i dag kan lommeregneren bruges til hurtigt og bekvemt at udregne værdierne.

Sinus

Sinus er den funktion der tager en vinkel, målt i forhold til den positive x-akse, og giver os y-koordinatet af det tilsvarende punkt på enhedscirklen.

Man siger at man tager sinus til vinklen v, og man skriver $\sin(v)$.

Da alle punkterne på enhedscirklen har y-værdier i intervallet [-1;1], vil værdien af sinus-funktionen også altid ligge i dette interval, og det kan derfor siges at være sinus værdimængde. $Vm(\sin )=[-1;1]$

Eksempel Y-koordinatet til det punkt på enhedscirklen, der ligger ved vinklen v=0°, kan findes ved at tage sinus til v=0°: $\sin(0^{\circ })=0$

Eksempel Y-koordinatet til det punkt på enhedscirklen, der ligger ved vinkeln v=30°, kan findes ved at tage sinus til v=30°: $\sin(30^{\circ })={\frac {1}{2}}=0,5$

Det gælder, at:

• $-\sin(v)=\sin(-v)$
  
• $\sin(180+v)=-\sin(v)$
  
• $\sin(180-v)=\sin(v)$

Cosinus

Cosinus tager en vinkel, og giver x-koordinatet til det tilsvarende punkt på enhedscirklen.

Man siger at man tager cosinus til vinklen v, og skriver $\cos(v)$.

På samme måde som sinus giver værdier mellem -1 og 1, gør cosinus det også, da alle punkter på enhedscirklen har x-koordinater mellem -1 og 1.

Eksempel X-koordinatet til det punkt på enhedscirklen, der ligger ved vinkeln v=30°, kan findes ved at tage cosinus til v=30°: $\cos(30^{\circ })={\frac {\sqrt {3}}{2}}=0,866025404\dots$

Eksempel X-koordinatet til det punkt på enhedscirklen, der ligger ved vinkeln v=60°, kan findes ved at tage cosinus til v=60°: $\cos(60^{\circ })={\frac {1}{2}}=0,5$

Det gælder, at:

• $\cos(v)=\cos(-v)$
  
• $\cos(180+v)=-\cos(v)$
  
• $\cos(180-v)=-\cos(v)$

Relevante opgaver

Tangens

Tangens til vinklen v er forkortet til tan(v).

Tangens er defineret ved, at:

$\tan(v)={\frac {\sin(v)}{\cos(v)}}$, forudsat at cos(v) ikke er lig med 0.

$\tan(v)=a$

hældningskoefficienten: $a={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}$

linjens ligning: $y-y_{0}=a(x-x_{0})$

Dmf = R \{x|cos(x)=0}

Cotangens

Cotangens til vinklen v forkortes til cot(v).
Modsat tangens.

$cot(v)=cos(v)/sin(v)$

Sekant

En sekant er et liniestykke som går fra ét punkt på en kurve til et andet. Man udregner en sekanthældning ved $(y2-y1)/(x2-x1)$.

I forbindelse med differentialregning bruger man en sekanthældning og tilnærmer afstanden mellem punkterne til 0. Herved fremkommer tangenthældningen.

Længden af en sekant kan let beregnes vha Pythagoras' læresætning.

I forbindelse med trigonometriske funktioner betegner sekant den reciprokke værdi af cosinusfunktionen.

sec(v)=1/cos(v)

Cosekant

Cosekant er den reciprokke værdi af sinusfunktionen

csc(v)=1/sin(v)

Sinusrelationerne

For en vilkårlig trekant gælder det, at:

$sin(A)/a=sin(B)/b=sin(C)/c$

eller at:

$a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)$

Ved sidste tilfælde gælder det også, at denne brøk er lig med 2*radius i trekantens omskrevne cirkel.

$a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)=2R$

Cosinusrelationerne

For en vilkårlig trekant gælder det, at:

cosA = $((b^{2}+c^{2}-a^{2})/2bc)$ , hvilket kan omskrives til: $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc*cos(A)$
cosB = $((a^{2}+c^{2}-b^{2})/2ac)$ , hvilket kan omskrives til: $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac*cos(B)$
cosC = $((a^{2}+b^{2}-c^{2})/2ab)$ , hvilket kan omskrives til: $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab*cos(C)$

Cosinusrelationen kaldes også for den "udvidede Pythagoras", da Pythagoras sætning $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ er tilfældet, når C er = 90 grader og da cos(90) er lig med 0.