Matematik A/Logaritmen

Logaritmen er en matematisk operation, der bruges til at bestemme, hvilket tal x skal opløftes i for at få y. Forklaret algebraisk:

$y=x^{\log y}\,$

I almindelig tale betyder det at y er det samme som x opløftet i logaritmen til y. Her kaldes x desuden for basen.

10-tals-logaritmen

Den almene logaritme er baseret på, at x = 10. Altså at ligningen, vi netop har set, er udformet som:

$y=10^{\log y}\,$

Men lad os se, hvad alt dette egentlig betyder rent matematisk. Vi prøver at tage logaritmen til 100.

$\log(100)=2\,$

Dette klares på en lommeregner. Vi prøver nu at sætte 2 ind i ligningen og se, om der kommer til at stå det samme på begge sider af lighedstegnet, hvilket vil underbygge den tidligere påstand om, at y er det samme som x opløftet i logaritmen til y.

$100=10^{\log 100}\,$

$100=10^{2}\,$

$100=100\,$

Herover illustreres, hvad logaritmen gør mere præcist. Det er sandsynligt, at det lige skal vendes og drejes lidt i hovedet.

Man kan naturligvis også anvende logaritmer til andet end tallet 10. Principperne og reglerne vil altid være de samme (så længe man arbejder med reelle tal).

Regneregler

Der findes tre grundlæggende logaritmeregneregler, der bl.a. anvendes til at løse ligninger, hvori logaritmer og potenser indgår.

1. $\log a\cdot b=\log a+\log b\,$
2. $\log {\frac {a}{b}}=\log a-\log b\,$
3. $\log {\frac {a}{b}}=-\log {\frac {b}{a}}\,$
4. $\log a^{n}=n\cdot \log a\,$

Denne sidste regel kan også afledes til brug af rødder.

Den naturlige logaritme

Den naturlige logaritme er egentlig det samme som 10-tals-logaritmen. Denne er bare baseret på at x = e, hvor e er Eulers tal, som vi lærer mere om senere i bogen. De samme regler gælder den naturlige logaritme, men denne skrives bare som:

$\ln x\,$

Hvor x er det tal, man ønsker at tage den naturlige logaritme til.

Man bør være opmærksom på at der af historiske årsager ikke er samme betydning af Log og Ln alt efter om man snakker med en matematiker eller ingeniør. Men da ingeniøre typisk har bygget lommeregnere er notationen anvendt i denne artikel også den som en ingeniør ville anvende.

Logaritmen for et vilkårligt n

For ethvert $a>0$ (hvor a desuden er forskelligt fra 1) er funktionen $a^{x}$ monoton, og derfor injektiv. Den har derfor en omvendt funktion, som vi benævner $log_{a}(x)$. Det gælder altså at $y=a^{x}\Leftrightarrow x=log_{a}(y)$. a kaldes logaritmens grundtal. Man kan overbevise sig selv om, at de kendte logaritmeregneregler gælder for et vilkårligt grundtal. Vi kan også vise, at alle logaritmefunktioner er proportionale med hinanden - altså at det gælder at $log_{a}=k\cdot log_{b}(x)$. I dette eksempel viser vi at $log_{a}(x)$ er proportional med $ln(x)$ - grunden til at vi vælger denne funktion er, at vi allerede har bevist logaritmeregnereglerne for denne funktion. I princippet kan enhver logaritmefunktion bruges.

$x=a^{log_{a}(x)}\Leftrightarrow$

$ln(x)=ln(a^{log_{a}(x)})\Leftrightarrow$

$ln(x)=log_{a}(x)\cdot ln(a)$

...og så har vi sådan set vist hvad vi skulle - $log_{a}(x)$ er proportional med $ln(x)$, med proportionalitetsfaktoren $ln(a)$. Omskriver vi lidt får vi:

$log_{a}(x)={\frac {ln(x)}{ln(a)}}$

...som f.eks. er nyttig hvis man vil udregne en vilkårlig logaritme på en lommeregner der kun kender $ln$ og $log_{10}$.