Matematik A/Funktioner

I dette kapitel kigger vi nærmere på begrebet matematisk funktion.

Man kan forestille sig en funktion som en slags "maskine": Man putter et tal ind i maskinen, hvorefter tallet bliver "forvandlet" til et nyt tal, som til sidst kommer ud af maskinen.
Det tal der kommer ud af maskinen, afhænger meget nøje af hvilket tal man starter med at putte i den; har man én gang fundet ud af at maskinen forvandler f.eks. et 3-tal til 75, kan man være stensikker på at hver eneste gang man giver den tallet 3, får man med garanti altid 75 ud af denne "funktions-maskine". Fodrer man maskinen med forskellige tal, får man andre resultater ud, men man kan ikke putte det samme tal i "funktions-maskinen" to gange, og få to forskellige svar ud af den anden ende.

Det tal man "putter i" funktionen (3 i eksemplet ovenfor), kaldes for den uafhængige variabel, og det resultat der kommer ud af funktionen (75 i eksemplet), hedder den afhængige variabel: Den uafhængige variabel; det tal vi putter ind i funktionen, kan man selv vælge. Men det resultat der kommer ud; den afhængige variabel, afhænger nøje af den værdi man vælger for den uafhængige variabel.

I matematikken har man en særlig skrivemåde for funktioner: Det at funktionen "tager imod" tallet 3 og afleverer resultatet 75, skrives sådan her:

$f(3)=75$

Tallene 3 og 75 kan genkendes fra eksemplet. Bogstavet $f$ er et navn på funktionen, eller "maskinen" i eksemplet — hvis man regner med flere forskellige funktioner, giver man dem forskellige navne, typisk $g$, $h$ osv., så man kan skelne dem fra hinanden.

Definition

Den sammenhæng der er mellem den uafhængige variabel man "putter i" funktionen og den afhængige variabel der kommer ud af det, kaldes for funktionens definition. Definitionen for en funktion kunne f.eks. være:

$f(x)$ er det antal kroner man skal give for en $x$ kilometer lang taxi-tur.

Hvis man nu undersøger hvad det koster at køre med taxi (hos et bestemt taxiselskab, på bestemte tider af døgnet og ugen, fordi priserne varierer), finder man f.eks. ud af, at prisen udregnes som et startgebyr på 30 kroner, plus 15 kroner pr. kilometer. Med de oplysninger kan definitionen for sådan en taxi-pris-funktion skrives som:

$f(x)=30+15\cdot x$, hvor $x$ er antal kørte kilometer.

Sådan en definition, der direkte viser det regneudtryk man skal bruge for at omregne den uafhængige variabel $x$ til den afhængige $f(x)$ (prisen for en tur på $x$ kilometer), kaldes for funktionens forskrift.

Definitions- og værdimængde

Ved hjælp af forskriften for funktionen der beregner prisen for en taxi-tur, kan man nu beregne prisen for køreture på alle mulige — og umulige! — antal kilometer: Som et eksempel på et "umuligt" antal kan man beregne prisen for en køretur på −2 kilometer:

$f(-2)=30+15\cdot -2=30+-30=0$

Ifølge den beregning bliver en taxitur altså gratis, hvis man vel at mærke kører præcis 2 kilometer baglæns...! Det bliver det nok lidt svært at overbevise chaufføren om — visse tal kan måske nok bruges sammen med forskriften, men giver ikke "mening" i forhold til det funktionen skal bruges til. I eksemplet med at regne prisen på en taxitur ud, giver det ikke nogen (praktisk) mening at tale om "en køretur på minus to kilometer", eller på 0 kilometer for den sags skyld: Funktionen kan i praksis kun bruges til kilometertal der er større end nul. Sagt på en anden og mere "matematisk" måde: Den uafhængige variabel skal være større end nul kilometer.

Sådan nogle begrænsninger i hvilke tal man kan bruge i rollen som den afhængige variabel, beskriver matematikerne i den såkaldte definitionsmængde: Definitionsmængden for en funktion er den talmængde der omfatter alle de tal man "har lov" til at bruge som uafhængig variabel. I eksemplet med taxi-pris-funktionen bliver definitionsmængden alle positive reelle tal (svarende til alle kilometer-antal større end 0), og det kan skrives på forskellige måder:

$Dm(f)=]0;\infty [$ (skrevet som interval)

$Dm(f)=\left\{x\in R\mid \;x>0\right\}$ (skrevet med mængdebygger)

$Dm(f)=\mathbb {R} _{+}$ (den positive del af de reelle tal)

Fællestrækket er $Dm(f)$, som betyder "definitionsmængden til funktionen $f$" — de tre skrivemåder handler alene om hvordan man rent matematisk skriver "alle tal større end nul".

Da funktionen jo altid giver den samme afhængige variabel som "svar" på det samme tal i den uafhængige variabel, betyder begrænsningerne i definitionsmængden i mange tilfælde også, at der er visse tal man aldrig kan få ud som funktionens afhængige variabel. Dette beskriver matematikerne i den såkaldte værdimængde, som er den talmængde der omfatter alle de tal det er muligt at "få ud" af funktionen som den afhængige variabel.
I eksemplet med taxi-priserne koster en tur som minimum et startgebyr på 30 kroner, plus kilometertaksten, så prisen bliver altid på mere end de 30 kroner. Værdimængden for taxi-funktionen kan skrives som:

$Vm(f)=]30;\infty [$ (skrevet som interval)

$Vm(f)=\left\{x\in R\mid \;x>30\right\}$ (skrevet med mængdebygger)

Igen er fællestrækket til venstre for lighedstegnene; $Vm(f)$ læses som "værdimængden til funktionen $f$". Det til højre for lighedstegnene er blot to forskellige måder at skrive "alle tal over 30" med matematikkens symboler.

I eksemplet med taxi-funktionens definitionsmængde er det alene taxichaufførens og taxiselskabets "uvilje" mod at køre baglæns, der gør at funktionen kun giver praktisk mening for bestemte tal — i andre tilfælde er det funktionens egen forskrift der sætter grænser for definitionsmængden. Her er en funktion der beregner den fart man skal holde, i kilometer i timen, for at køre én kilometer på $x$ sekunder:

$g(x)={\frac {60}{x}}$

Kan man køre en kilometer på 0 sekunder? Sætter man nul ind på $x$'s plads i forskriften, ender man med at skulle dividere 60 med 0, og det kan man ikke — forskriften kan ikke give noget svar! Og hvis man tænker lidt over det, finder man nok ud af at der er visse praktiske problemer med at gøre det i virkeligheden...
Nul kan altså alene af matematiske "problemer" med forskriften, ikke være element (være "med") i definitionsmængden for fart-funktionen $g$. Og ligesom med taxi-eksemplet kan man dette tilfælde diskutere om man kan komme 2 sekunder tilbage i tiden ved at køre baglæns i bil med 30 km/t...

Den rette linje

Den rette linje beskrives af funktionsforskriften:

$f(x)=a\cdot x+b$

Hvor a er hældningen på linjen, i forhold til x-aksen og b er forskydningen på y-aksen. Grafen skærer punktet (0,b).

Den rette linje kan betragtes som et 1. grads polynomium.

Parablen

$f(x)=a\cdot x^{2}+b\cdot x+c$

Fortegnet på a siger noget om hvilken vej parablen vender. Hvis a er positiv, så vender den opad og hvis den er negativ, så vender den nedad.

Faktoren c angiver bare hvor på y-aksen at funktionen ligger. At lægge en konstant til eller trække en konstant fra ændrer ikke noget ved selve funktionens udseende, men bestemmer kun hvor langt oppe eller nede af y-aksen funktionen ligger.

Parablen kan betragtes som et 2. grads polynomium.

Polynomier

Polynomier tilhører den type af funktioner som har følgende generelle forskrift:

$f(x)=k_{n}\cdot x^{n}+k_{(n-1)}\cdot x^{n-1}+...+k_{1}\cdot x+k_{0}=\sum _{i=0}^{n}k_{i}\cdot x^{i}$

I ovenstående eksempel udgør k'erne hver især en vilkårlig konstant, og n'erne tilhører desuden de naturlige tal. Potensen n siges at være graden af polynomiet, for eksempel:

$2\cdot x^{2}-3\cdot x+8=0$ er et andengradspolynomium

$2\cdot x^{4}-x+3=0$ er et fjerdegradspolynomium

Et polynomium skærer y-aksen i punktet $\left(0,k_{0}\right)$.

Et polynomium skærer x-aksen mellem nul og n gange, og har dermed fra nul til n relle rødder. Alternativt kan polynomiet have komplekse rødder. Herpå følger det simpleste tænkelige eksempel:

$y=x^{2}+1$ vides helt intuitivt, at det ikke skærer x-aksen nogen steder. Forsøger man at løse denne ligning ved hjælp af standardformlen får man følgende:

$x={\frac {\pm {\sqrt {-4}}}{2}}={\frac {\pm {\sqrt {4}}\cdot {\sqrt {-1}}}{2}}=\pm \cdot {\sqrt {-1}}=\pm i$

Hvor i udgør den imaginære enhed eller kvadratroden af -1.

Ifølge Algebraens Fundamentalsætning har et polynomiun af n'te grad præcis n løsninger inden for de komplekse tal. Endvidere kan vi sige, at et polynomium af en ulige grad har mindst en løsning (dette vil vi undersøge nærmere ifm. grænseværdier).

At finde rødder i polynomier kan være en besværlig affære. Der findes algebraiske løsningsformler hvis n er mindre end eller lig med 5 - og det kan bevises, at der ikke findes lignende løsningsformler (der kun involverer de fire regnearter samt potensopløftning og roduddragning) for n>5.

Faktorisering af polynomier

Lad os sige at vi har et polynomium $Q(x)$ af grad n, og ved at tallet r er rod i Q. Man kan så vise, at Q kan faktoriseres på følgende måde:

$Q(x)=(x-r)\cdot P(x)$

hvor P er af graden $n-1$. For at finde P må man udføre Polynomiers Division. Denne metode kan benyttes til at finde rødder i polynomier hvor man ikke umiddelbart har en løsningsformel. Vi viser dette med et eksempel:

$f(x)=x^{3}+x^{2}-3x+1$

Ved indsættelse ser vi, at x=1 er rod i polynomiet. Det gælder så, at

$f(x)=(x-1)\cdot g(x)$

hvor g er af en grad mindre end f, og derfor et andengradspolynomium. Det gælder også at

$f(x)=(x-1)\cdot g(x)\Rightarrow$

$g(x)={\frac {x^{3}+x^{2}-3x+1}{x-1}}$

og g kan så ved polynomiers division udregnes til at være $x^{2}+2x-1$. Med den kendte løsningsformel finder vi, at rødderne i g er $x=-1\pm {\sqrt {2}}$. Samlet er f's rødder altså $\{1,-1-{\sqrt {2}},-1+{\sqrt {2}}\}$

Sætningen kan generaliseres. Hvis $Q(x)$ har rødderne $\{r_{1},r_{2},r_{3},\dots ,r_{n}\}$ (hvor nogle rødder evt. er komplekse), kan $Q(x)$ faktoriseres som $Q(x)=(x-r_{1})(x-r_{2})(x-r_{3})\dots (x-r_{n})$.

Se evt. komplekse tal for mere information.