Matematik A/Eksponentielle Funktioner

Fra Wikibooks, den frie samling af lærebøger
Spring til navigation Spring til søgning

Eksponentielle funktioner anvendes bl.a. til at beskrive eksponentielle udviklinger, der foregår over tid. Det kunne for eksempel være rentetilskrivning af formue eller gæld, hvor renten er fast. Det kan også bruges til at regne befolkningstal ud med.

Definition[redigér]

En funktion er en eksponentiel vækstfunktion, når man har en koefficient gange en potens, hvor eksponenten er den uafhængige variabel. Forskriften for en eksponentiel funktion er

hvor kaldes begyndelsesværdien og kaldes fremskrivningsfaktoren.

Begyndelsesværdien er det punkt, hvor funktionen skærer y-aksen. Med andre ord, funktionen går altid gennem . Dette ses ved at udregne funktionsværdien når , dvs. ved y-aksen:

En eksponentialfunktion er en funktion, der kan skrives på formlen

Det ses, at en eksponentialfunktion også er en eksponentiel vækstfunktion (da hvis man sætter får man en eksponentialfunktion), men ikke alle eksponentielle vækstfunktioner er eksponentialfunktioner.

Udseende[redigér]

Eksponentielle funktioner kan se vidt forskellige ud, alt efter hvilke værdier og har.

  • Hvis 0 < a < 1, vil funktionen være eksponentielt aftagende.
  • Hvis a > 1, vil funktionen være eksponentielt voksende.

Formler[redigér]

Bestemmelse af en eksponentiel funktion, der går gennem 2 punkter[redigér]

Hvis man har 2 punkter og kan man beregne hvilken eksponentialfunktion, der går gennem disse 2 punkter, dvs. beregne og . De beregnes på følgende måde:

For at undgå eventuelle misforståelser ved beregningen af a, så skal man altså trække x2 fra x1. Det tal, som man får her, skal man tage som rod af resten. Hvis man for eksempel får 3, så skal man tage den 3. rod af y2 divideret med y1.

Bevis:

Vi vil finde eksponentialfunktionen, der går gennem punkterne og , dvs. en funktion, der skrives på formen

hvor man skal regne ud hvad og er.

Da skal gå gennem og , skal følgende ligninger gælde:

Forskriften for den eksponentelle funktion indsættes. Så fås

Vi har nu 2 ligninger med 2 ubekendte. Vi starter med at isolere :

Da vi har 2 udtryk for , kan disse sættes sammen:

Og så isoleres :

Værdien beregnes ved at indsætte -værdien i en af de 2 forskrifter.

Det er lige gyldigt hvilken en, da de er lig med hinanden.