Matematik A/Algebra

Addition

Addition er i mere daglig tale også kendt som "at lægge til", "at lægge sammen" eller "plus". Addition er sammen med subtraktion de mest fundamentale operationer i matematikken. Addition skrives algebraisk som:

$a+b=c\,$

Addition anvendes stort set overalt i hverdagen.

Subtraktion

Subtraktion er i daglig tale kendt som "at trække fra" eller "minus". Det er den modsatte regningsart til addition. Subtraktion opskrives algebraisk som:

$a-b=c\,$

I modsætning til addition har det betydning, hvilket tal man trækker fra hvilket. Betragt følgende to eksempler:

$4-2=2\,$

$2-4=-2\,$

Som det fremgår, har det betydning, om det er 2 eller 4, der står først. Gør man det samme inden for addition,

$2+4=6\,$

$4+2=6\,$

kan man se, at det ikke har indflydelse dér. Man skal derfor huske at være opmærksom på dette, når man arbejder med subtraktion - en måde at gøre dette på kunne være at betragte tallets negative fortegn som en form for koefficient. F.eks:

$2+(-4)=-2\,$

$(-4)+2=-2\,$

Arbejder man med algebra, er det nemlig meget vigtigt at kunne skelne de enkelte led fra hinanden. I algebra er der ingen forskel på subtraktion og addition, det er først, når man bringer talværdier i spil, at man skal være forsigtig.

Multiplikation

Multiplikation er i daglig tale kendt som "at gange". Algebraisk opskrives multiplikation som:

$a\cdot b=c$

Faktorerne er a og b, og produktet er c. Ligesom med addition har det ikke betydning, om der er a•b eller b•a. Inden for multiplikation gælder det, at når man ganger to negative tal med hinanden, får man et positivt resultat. Ganger man en positiv og en negativ faktor, får man en negativt resultat.

Når der er tale om notation med bogstaver, eller bare et tal og et bogstav, er det i orden at undlade gange-tegnet. Det betyder sammenfattet:

$a\cdot b=ab$

$2\cdot a=2a$

Det kan man dog ikke med to tal, da det så kunne ligne ét tal.

Division

Division er det at dele noget. Hvis man for eksempel skal dele 20 kr. mellem 4 personer, bruger man division til at regne ud, hvad hver enkelt person skal have. Division noteres på en brøk, som:

${\frac {a}{b}}=c$

"a" bliver kaldt for tælleren og b for nævneren. Er tæller og nævner det samme, bliver resultatet 1. Dette gælder for alle tal undtagen 0.

Division med 0 kan ikke lade sig gøre!

Hvis vi for et øjeblik ser bort fra, at det ikke kan lade sig gøre, kan man nemlig argumentere for tre forskellige resultater ved division med nul.

Først og fremmest kan man argumentere for, at resultatet bliver 1 ud fra "reglen" ovenfor, da resultatet altid bliver 1, når tæller og nævner er ens.

På den anden side kan man også sige, at resultatet bliver 0 i og med, at der i princippet står $0\cdot {\frac {x}{0}}$. Og som bekendt giver en brøk nul, når man ganger den med 0.

Sidst men ikke mindst, ved vi generelt at en brøk bliver meget lille når nævneren er et stort tal, og meget stor når nævneren er meget lille. Når nævneren dermed er nul kan resultatet også tolkes som et uendeligt stort tal eller $\infty$.

Potenser

Man kan kalde en potens for en sammenfattelse, af et tal der ganges med sig selv flere gange i et led. Man noterer en potens som:

$a^{n}\,$

Et eksempel på hvor man kan bruge potens er:

$2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^{4}\,$

Da 2 bliver ganget med sig selv 4 gange, er det hurtigere og mere effektivt at skrive potensen som 2⁴.

Regneregler

Følgende regneregler gælder for potenser:

$a^{n+m}=a^{n}\cdot a^{m}\,$

$a^{n\cdot m}=(a^{n})^{m}\,$

$a^{0}=1\,$

$a^{1}=a\,$

$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$

${\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$

$a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

Den 0. potens

Bemærk i særdeleshed at $a^{0}$ giver 1! Altså

$5^{0}=1\quad 12.5^{0}=1$

En måde at indse dette på er at betragte følgende talrække:

${\begin{aligned}10^{3}&=1000\\10^{2}&=100\\10^{1}&=10\\10^{0}&=1\\10^{-1}&={\frac {1}{10^{1}}}10^{-2}&={\frac {1}{10^{2}}}=0.01\end{aligned}}$

Det giver god menig og er praktisk, men hvis det skal gælde for alle tal kan vi udnytte følgende (nu vælges potensen "4", men det ville gælde for ethvert tal):

$a^{4}\cdot a^{-4}=a^{4}\cdot {\frac {1}{a^{4}}}=1$

Men vi har netop også at:

$a^{4}\cdot a^{-4}=a^{4+(-4)}=a^{0}$

Hvilket derfor er lig 1.

Rødder

Rødder er den modsatte regningsart til potenser. En rod bruges til at finde hvilket tal der ganget med sig n antal gange, giver et udvalgt tal. Som eksempel kunne man ønske at finde ud af, hvilket tal der ganget med sig selv 2 gange giver 25.

${\sqrt {25}}=5\,$

Man kan kontrollere resultatet ved at sige

$5^{2}=25\,$

I tilfælde af at der ikke er tale om en kvadratrod, udtrykker man roden som:

${\sqrt[{n}]{a}}$

Hvilket betyder at man finder det tal der skal ganges med sig n gange, for at man får a.

En kvadratrod er også defineret som:

$a^{1/2}={\sqrt {a}}\,$

F.eks:

$25^{1/2}={\sqrt {25}}=5\,$

er det tredje rod, udvides det som følger:

$a^{1/3}={\sqrt[{3}]{a}}\,$

Regneregler

Følgende regneregler gælder for rødder af tal:

${\sqrt[{n}]{a^{m}}}=a^{\frac {m}{n}}$

Det vil altså sige at kvadratroden af et tal kan skrives op som:

${\sqrt {a}}=a^{\frac {1}{2}}$

Reduktion

Når et matematisk udtryk indeholder flere ens variable, kan disse ofte sammenskrives. Dette kalder man "at reducere". Mange matematiklærere siger, at man skal huske "at holde pærer og bananer for sig". I nedenstående er der reduceret:

$-2b+2a+a-a+3b=2a+b$

Reduktioner kan sagtens være mere komplicerede.

De seks regnearter, som er beskrevet tidligere i kapitlet, er inddelt i et hierarki som angiver i hvilken rækkefølge man skal udregne forskellige dele af et algebraisk udtryk:

Regnearternes hierarki

Prioritet	Regnearter
1. prioritet	Rødder og potenser
2. prioritet	Multiplikation og division
3. prioritet	Addition og subtraktion

Når man finder resultatet af et regnestykke skal man starte med den del der har den højeste prioritet som i eksemplet her:

$15+7\cdot 5=15+35=50$

Fremgangsmåden i eksemplet er, først at gange 7 og 5 med hinanden da denne handling har højere prioritet, og derefter lægge resultatet, 35, til de 15.