Matematik/Mængder

I matematikken har vi ofte behov for at beskrive samlinger af objekter, ofte tal, og til dette bruger vi mængder. Vi kan f.eks. bruge mængderne til at fortælle hvilke tal vi kan bruge til forskellige udregninger:

• En længde kan ikke være et negativt tal, altså er den mængde tal du kan bruge når du skal angive en længde alle tal, undtagen de negative
• Man kan ikke dividere med 0, derfor er den mængde tal du kan skrive under en brøkstreg: alle, bortset fra 0

De objekter som er en del af en mængde kaldes elementer.

Listeform

Elementerne som er i en mængde skrives i krøllede parenteser (tuborgklammer: { og }) og adskilles med komma, så hvis vi f.eks. beslutter at tallene 2, 3, 4 og 5 er en del af mængden A vil vi skrive det således:

$A=\{2,3,4,5\}$

Denne måde at angive en mængde på kaldes fuldstændig listeform, og rækkefølgen af elementerne i tuborgklammerne er fuldstændig ligegyldig for betydningen, så hvis vi har lyst kan vi lige så godt skrive således i stedet:

$A=\{3,2,5,4\}$

Hvis vi nu beslutter at tallene fra 4 til 99 skal være elementer i B ville de fleste mennesker jo nok bare læse de første 3 tal og så se på hvad det sidste element er fordi man kan se at vi alligevel bare har skrevet hvert eneste tal. I stedet for at spilde en masse tid på at skrive alle tallene fra 4 til og med 99 kan vi derfor nøjes med at skrive de første elementer og det sidste, blot med nogle punktummer imellem. Denne måde at opskrive en mængde på kaldes ufuldstændig listeform, og vil se således ud:

$B=\{4,5,6,\dots ,99\}$

Husk: når du bruger ufuldstændig listeform skal du medtage nok elementer før punktummerne til at man kan gætte sig til hvad resten af elementerne er.

Når vi har valgt at gøre tallet 4 til en del af A, kan vi også sige at 4 tilhører A, dette kan vi også skrive således:

$4\in A$

Modsat ved vi at 7 ikke er en del af A, derfor siger vi at 7 ikke tilhører A, og skriver således:

$7\notin A$

Almindelige Mængdeoperationer og Mængdediagrammer

Man illustrerer mængder ved cirkler som vist på billedet til højre, hver cirkel representerer en mængde, vi kan f.eks. sige at den venstre cirkel er mængden A fra Forrige afsnit og den højre cirkel er mængden B. Som afgrænsning for hele diagrammet tegner man et rektangel til at symbolisere grundmængden som er hele diagrammets "univers" og indeholder alle tal. Inde i hver cirkel der representerer en mængde kunne man så skrive de tal som er med i mængden, dvs. tallene fra 2 til 5 i den venstre cirkel (mængden A) og 4 til 99 i den højre cirkel (mængden B)

Specielle mængder

Nogle talmængder som man bruger meget ofte har fået deres egne specielle symboler, og bruges ofte når man definerer andre mængder. Alle disse mængder betegnes med dobbeltstregede bogstaver.

De naturlige tal

De naturlige tal er alle hele og positive tal. De naturlige tal betegnes med $\mathbb {N}$

$\mathbb {N} =\{1,2,3,\dots \}$

De hele tal

De hele tal er som de hedder hele tal, dvs. både positive, negative og 0 er med. De hele tal betegnes med $\mathbb {Z}$

$\mathbb {Z} =\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}$

De rationale tal

Rationale tal er alle de tal der kan skrives som brøker med de hele tal. De rationale tal betegnes med $\mathbb {Q}$

$\mathbb {Q} =\{{\frac {p}{q}}\mid p,q\in \mathbb {Z} ,q\not =0\}$

Da alle hele tal kan skrives som brøker er de også rationale tal. Der findes dog også tal som ikke kan skrives kun med en brøk (kaldet irrationale tal) som f.eks. ${\sqrt {2}}$ og $\pi$

De reelle tal

De reelle tal er alle tallene der eksisterer. De reelle tal betegnes med $\mathbb {R}$

De komplekse tal

det er de tal der er komplekse