Landmåling/En fri opstilling

Beregning af en fri opstilling i UTM

På ovennævnte skitse er totalstationen opstillet et tilfældigt sted i punkt A. Koordinaterne til punkt A beregnes ved, at der måles både afstand og retning til punkt A og B, som er to kendte punkter.

Først beregnes $\angle A$ ved at trække retningen mod punkt C fra retninen mod punkt B - dvs.:

$\angle A=r_{C}-r_{B}$

Afstanden a beregnes derefter ud fra koordinaterne til punkt B og C ved hjælp af afstandsformlen:

$a={\sqrt {(N_{C}-N_{B})^{2}+(E_{C}-E_{B})^{2}}}$

Retningsvinklen fra punkt B til C beregnes herefter ud fra følgende formel:

$\alpha =\tan ^{-1}\left({\frac {E_{C}-E_{B}}{N_{C}-N_{B}}}\right)$.

$\angle B$ skal herefter beregnes. Dette gør vi indirekte ved at beregne $\angle C$, hvorefter $\angle B$ kan beregnes. $\angle C$ beregnes ved hjælp af sinusrelationen.

$\angle C=\sin ^{-1}\left({\frac {c*\sin A}{a}}\right)$.

$\angle B$ beregnes herefter vha. følgende formel:

$\angle B=200-\angle A-\angle C$.

Punkt A's koordinater kan nu beregnes ud fra følgende formler: $N_{A}=\cos(\alpha +\angle B)*c+N_{B}$

$E_{A}=\sin(\alpha +\angle B)*c+E_{B}$

Eksempel

Der er målt en fri opstilling med følgende observationer:

Observationer:	Opst. i punkt A
Pkt.	retning	vandret afstand
B	3,173	263,043
C	90,368	-

Koordinater:
Pkt.	N	E
B	137,15	219,32
C	319,23	412,19

Vinkel A kan beregnes ud fra de to retninger:

$\angle A=90,368-3,173=87,195gon$

Afstanden mellem punkt B og C:

$a={\sqrt {(319,23-137,15)^{2}+(412,19-219,32)^{2}}}=265,24m$

Retningsvinklen fra B mod C:

$\alpha =\tan ^{-1}\left({\frac {412,19-219,32}{319,23-137,15}}\right)=51,832gon$

Det ses, at både tæller og nævner er positive, hvorfor der skal lægges 0 gon til retningsvinklen, som så bliver:

$\alpha =51,832gon$

Vinkel B bliver herefter:

$\angle C=\sin ^{-1}\left({\frac {263,043*\sin(87,195)}{265,24}}\right)=84,822gon$

$\angle B=200-87,195-84,822=27,983gon$

A's koordinater bliver hermed:

$N_{A}=\cos(51,832+27,972)*263,043+137,15=219,20m$

$E_{A}=\sin(51,832+27,972)*263,043+219,32=469,24m$

Beregning af en fri opstilling i System-34

På ovennævnte skitse er totalstationen opstillet et tilfældigt sted i punkt A. Koordinaterne til punkt A beregnes ved, at der måles både afstand og retning til punkt A og B, som er to kendte punkter.

Først beregnes $\angle A$ ved at trække retningen mod punkt C fra retninen mod punkt B - dvs.:

$\angle A=r_{C}-r_{B}$

Afstanden a beregnes derefter ud fra koordinaterne til punkt B og C ved hjælp af afstandsformlen:

$a={\sqrt {(Y_{C}-Y_{B})^{2}+(X_{C}-X_{B})^{2}}}$

Retningsvinklen fra punkt B til C beregnes herefter ud fra følgende formel:

$\alpha =\tan ^{-1}\left({\frac {Y_{C}-Y_{B}}{X_{C}-X_{B}}}\right)$.

$\angle B$ skal herefter beregnes. Dette gør vi indirekte ved at beregne $\angle C$, hvorefter $\angle B$ kan beregnes. $\angle C$ beregnes ved hjælp af sinusrelationen.

$\angle C=\sin ^{-1}\left({\frac {c*\sin A}{a}}\right)$.

$\angle B$ beregnes herefter vha. følgende formel:

$\angle B=200-\angle A-\angle C$.

Punkt A's koordinater kan nu beregnes ud fra følgende formler: $Y_{A}=\sin(\alpha +\angle B)*c+Y_{B}$

$X_{A}=\cos(\alpha +\angle B)*c+X_{B}$

Eksempel

Der er målt en fri opstilling med følgende observationer:

Observationer:	Opst. i punkt A
Pkt.	retning	vandret afstand
B	3,173	263,043
C	90,368	-

Koordinater:
Pkt.	Y	X
B	219,32	137,15
C	412,19	319,23

Vinkel A kan beregnes ud fra de to retninger:

$\angle A=90,368-3,173=87,195gon$

Afstanden mellem punkt B og C:

$a={\sqrt {(319,23-137,15)^{2}+(412,19-219,32)^{2}}}=265,24m$

Retningsvinklen fra B mod C:

$\alpha =\tan ^{-1}\left({\frac {412,19-219,32}{319,23-137,15}}\right)=51,832gon$

Det ses, at både tæller og nævner er positive, hvorfor der skal lægges 0 gon til retningsvinklen, som så bliver:

$\alpha =51,832gon$

Vinkel B bliver herefter:

$\angle C=\sin ^{-1}\left({\frac {263,043*\sin(87,195)}{265,24}}\right)=84,822gon$

$\angle B=200-87,195-84,822=27,983gon$

A's koordinater bliver hermed:

$Y_{A}=\sin(51,832+27,972)*263,043+219,32=469,24m$

$X_{A}=\cos(51,832+27,972)*263,043+137,15=219,20m$

I dette eksempel er der målt det absolut minimum af observationer. Målingen er kun bestemt. Dermed vil en evt. grov fejl i observationerne ikke kunne opdages i beregningerne. I praksis vil man altid forsøge at indmålte retninger og afstande til mindst 3 punkter således, at den frie opstilling er overbestemt. Dermed vil man kunne kombinere de forskellige observationer på forskellig vis i beregningerne - med tre kendte punkter kan der dannes 3 vinkårlige trekanter, hvori opstillingspunktet indgår. Dette vil medfører - såfremt der ikke er grove fejl i observationerne - at de beregnede koordinater til punt A vil blive de samme inden for målenøjagtigheden uanset hvilke observationer, der kombineres.

I dette tilfælde vil det bedste koordinatsæt til punkt A være gennemsnittet af de beregnede koordinater ud fra de 3 vilkårlige trekanter. Der findes også beregningsmetoder, hvor man på en gang kan beregne ét koordinatsæt til punkt A ud fra alle observationerne. Denne metode kaldes for udjævning.