En determinant er et tal, der karakteriserer en matrix. Der findes flere forskellige måder at bestemme determinanter på, og flere forskellige nyttige regneregler for determinanter, som er gennemgået herunder.
Bestemmelse af determinanter
[redigér]
Determinanter er kun definerede for kvadratiske matricer. For en matrix siger man, at determinanten er af n'te orden.
For en matrix kan determinanten fås af Leibniz-formlen:
hvor angiver en permutation af tallene {1, 2, 3, ..., n}, er mængden af mulige permutationer af disse tal, er fortegnet for permutationen og angiver et produkt (på samme måde som angiver en sum). Specielt fås for n-værdierne 1-3:
n
|
|
1
|
|
2
|
|
3
|
|
Udvikling efter række eller søjle
[redigér]
Determinanten af matricen kan også udtrykkes vha. n underdeterminanter af (n – 1)'te orden; dette gøres ved at udvikle efter en række eller søjle i Denne metode er specielt nyttig, hvis en række eller søjle indeholder mange nuller, idet der så ved udvikling efter denne vil bortfalde lige så mange af leddene i den passende formel herunder:
Ved udvikling efter den i'te række fås determinanten af
|
|
|
|
Ved udvikling efter den j'te søjle fås determinanten af
|
|
|
|
Herover betegner den (i, j)'te underdeterminant hørende til dvs. determinanten til den matrix, der fremkommer ved at fjerne den i'te række og den j'te søjle fra Størrelsen
kaldes komplementet til matrixelementet
Regneregler og særtilfælde
[redigér]
Matrixegenskaber og determinanter
[redigér]
For en enhedsmatrix gælder
For en diagonal- eller trekantmatrix gælder
Hvis en kvadratisk matrix indeholder en nulrække, da gælder
For en kvadratisk matrix gælder
- er regulær
En matrix er regulær netop hvis den er bijektiv, og bijektiv kun når den er kvadratisk. Den kan dog godt være kvadratisk uden at være regulær, dvs. regulær ⇒ kvadratisk.
NB: En matrix behøver ikke være kvadratisk for at kunne være regulær.
Transponering, invertering og multiplikation af matricer
[redigér]
For en kvadratisk matrix gælder
For en regulær kvadratisk matrix gælder
For to matricer og gælder
Elementaroperationer på matricer
[redigér]
Hvis en matrix frembringes ved én af disse elementaroperationer på en anden matrix fås dens determinant af:
- Multiplikation af 1 række med tal k:
- Rækkeoperation (træk en række fra en anden):