Spring til indhold

Håndbog i lineær algebra/Determinanter

Fra Wikibooks, den frie samling af lærebøger

En determinant er et tal, der karakteriserer en matrix. Der findes flere forskellige måder at bestemme determinanter på, og flere forskellige nyttige regneregler for determinanter, som er gennemgået herunder.

Bestemmelse af determinanter[redigér]

Determinanter er kun definerede for kvadratiske matricer. For en matrix siger man, at determinanten er af n'te orden.

Leibniz-formlen[redigér]

For en matrix kan determinanten fås af Leibniz-formlen:

hvor angiver en permutation af tallene {1, 2, 3, ..., n}, er mængden af mulige permutationer af disse tal, er fortegnet for permutationen og angiver et produkt (på samme måde som angiver en sum). Specielt fås for n-værdierne 1-3:

n
1
2
3

Udvikling efter række eller søjle[redigér]

Determinanten af matricen kan også udtrykkes vha. n underdeterminanter af (n – 1)'te orden; dette gøres ved at udvikle efter en række eller søjle i Denne metode er specielt nyttig, hvis en række eller søjle indeholder mange nuller, idet der så ved udvikling efter denne vil bortfalde lige så mange af leddene i den passende formel herunder:


Ved udvikling efter den i'te række fås determinanten af


Ved udvikling efter den j'te søjle fås determinanten af


Herover betegner den (i, j)'te underdeterminant hørende til dvs. determinanten til den matrix, der fremkommer ved at fjerne den i'te række og den j'te søjle fra Størrelsen

kaldes komplementet til matrixelementet

Regneregler og særtilfælde[redigér]

Matrixegenskaber og determinanter[redigér]

For en enhedsmatrix gælder


For en diagonal- eller trekantmatrix gælder


Hvis en kvadratisk matrix indeholder en nulrække, da gælder


For en kvadratisk matrix gælder

er regulær

En matrix er regulær netop hvis den er bijektiv, og bijektiv kun når den er kvadratisk. Den kan dog godt være kvadratisk uden at være regulær, dvs. regulær ⇒ kvadratisk.
NB: En matrix behøver ikke være kvadratisk for at kunne være regulær.

Transponering, invertering og multiplikation af matricer[redigér]

For en kvadratisk matrix gælder


For en regulær kvadratisk matrix gælder


For to matricer og gælder

Elementaroperationer på matricer[redigér]

Hvis en matrix frembringes ved én af disse elementaroperationer på en anden matrix fås dens determinant af:

  • Ombytning af 2 rækker:


  • Multiplikation af 1 række med tal k:


  • Rækkeoperation (træk en række fra en anden):