Bevisbogen/Kvadratsætningerne

Kvadratsætningerne findes i 3 forskellige udgaver som kaldes 1., 2. og 3. kvadratsætning.

1. kvadratsætning

Grafisk bevis for den første kvadratsætning.

Den første kvadratsætning ser således ud:

$(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$

Bevis

$(a+b)^{2}$	Vores udgangspunkt
= $(a+b)(a+b)$	Vi skriver parentesen to gange med et gangetegn imellem i stedet for at opløfte det i anden
= $a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b$	Så ganger vi parenteserne ind i hinanden
= $a^{2}+b^{2}+2ab$	Et tal ganget med sig selv kan skrives som tallet i anden, det benytter vi os af ved $a\cdot a$ og $b\cdot b$. Derudover ved vi også at $a\cdot b$ og $b\cdot a$ er det samme, og vi kan derfor skrive det som 2ab

Så vi har nu vist, at $(a+b)^{2}$ er det samme som $a^{2}+b^{2}+2ab$.

2. kvadratsætning

Den anden kvadratsætning ser således ud:

$(a-b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab$

Bevis

$(a-b)^{2}$	Vores udgangspunkt
= $(a-b)(a-b)$	Vi skriver parentesen to gange med et gangetegn imellem i stedet for at opløfte det i anden
= $a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+b\cdot b$	Så ganger vi parenteserne ind i hinanden
= $a^{2}+b^{2}-2ab$	Et tal ganget med sig selv kan skrives som tallet i anden, det benytter vi os af ved $a\cdot a$ og $b\cdot b$. Derudover ved vi også at $a\cdot b$ og $b\cdot a$ er det samme, og vi kan derfor skrive det som 2ab

Vi har nu vist at $(a-b)^{2}$ er det samme som $a^{2}+b^{2}-2ab$.

3. kvadratsætning

Den tredje kvadratsætning ser således ud:

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

Bevis

Vores udgangspunkt er

$(a+b)(a-b)$

Så ganger vi parenteserne ind i hinanden:

$a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b$

Et tal ganget med sig selv kan skrives som tallet i anden, det benytter vi os af ved $a\cdot a$ og $b\cdot b$. Leddene $-a\cdot b$ og $b\cdot a$ går ud med hinanden, og vi har derfor det ønskede resultat tilbage:

$a^{2}-b^{2}$

Så vi har nu vist at $(a+b)(a-b)$ kan skrives som $a^{2}-b^{2}$.