Almen relativitetsteori og klassisk mekanik

Her beskrives sammenhængen mellem Einsteins almene relativitetsteori og Newtons klassiske beskrivelse af legemers bevægelse i et tyngdefelt. Vi vil ikke her gå ind i udledningen af Einsteinligningen og fortolkning af de enkelte led i denne, ej heller en mere grundlæggende introduktion til Einsteins almene relativitetsteori. Blot skal det nævnes, at når samme index står for for oven og for neden i et led i en ligning er der tale om implicit summation. Konventionen er, at i eller j summeres fra 1 til 3 (de rumlige koordinater), mens a,b,c,... summeres fra 0 til 3 (både tidslig og rumlige koordinater). Desuden skal man huske, at konventionen for enheder (lysets hastighed) i klassisk mekanik og almen relativitetsteori normalt er h.h.v.:

${\begin{matrix}c=299792458\,{\frac {m}{s}}&,&c=1\end{matrix}}$

Klassisk mekanik

Newtons beskrivelse af tyngdekraften er basalt set, at to legemer med masser M og m og indbyrdes afstand r tiltrækker hinanden med en kraft, der har størrelsen:

$F(r)=-G{\frac {Mm}{r^{2}}},\ \mathrm {hvor} \ G=6.673(10)\cdot 10^{11}{\frac {m^{3}}{kg\,s^{2}}}$

Desuden ved vi, at en partikel med masse m, der påvirkes af en kraft F acelereres med en acceleration, der opfylder:

$m\,\mathbf {a} =\mathbf {F}$

Alternativt kan man sige, at en punktformig masse M giver anledning til et tyngdepotential:

$\phi (r)=-G{\frac {M}{r}}$

Sammenhængen med ovenstående er, at accelerationen af en lille test masse placeret i potentialet er:

$\mathbf {a} =-\nabla \phi .$

Med denne definition af potentialet får vi:

$\Delta \phi =\nabla \cdot \nabla \phi =\nabla \cdot \left(G{\frac {M}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}\right)=4\pi GM\delta (\mathbf {r} )$

Eller hvis massen ikke er punktformig, men vi istedet har en massetæthed:

$\Delta \phi =4\pi G\mu (\mathbf {r} )$

Klassisk approksimation til den almene relativitetsteori

Det vi her ønsker at vise er at Einsteinligningen:

$R_{ab}=\kappa \left(T_{ab}-{\frac {1}{2}}g_{ab}T\right)$

er i overensstemmelse med Newtons klassiske beskrivelse, i grænsen hvor alle partikler (masser) bevæger sig meget langsommere end lyset, og rummet er næsten fladt (eller ækvivalent: tyngdekraften er meget lille). D.v.s.:

$v<<c\quad \mathrm {og} \quad g_{ab}=\eta _{ab}+h_{ab}\quad \mathrm {hvor}$

$\eta _{ab}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}\quad \mathrm {og} \quad h_{ab}<<1\ \forall \ a,b$

Det betyder, at:

$T_{ab}=\mu \,u_{a}\,u_{b}\quad \mathrm {hvor}$

${\begin{matrix}u_{a}&=&{\frac {dx_{a}}{ds}}&=&\left({\frac {dt}{ds}},-{\frac {d{\vec {x}}}{dt}}\right)\\&\approx &\left({\frac {dt}{dt}},0,0,0\right)&=&(1,0,0,0)\end{matrix}}$

Vi har her brugt, at egentid s og tidskoordinat t er identiske for lille hastighed og små tyngdefelter. Vi får altså:

$T_{00}=\mu \quad \mathrm {og} \quad T_{ab}=0\ \mathrm {for\ alle\ andre} \ a,b$

Dermed får vi:

${\begin{matrix}R_{00}&=&\kappa \left(T_{00}-{\frac {1}{2}}g_{00}g^{ab}T_{ab}\right)\\&=&\kappa \left(T_{00}-{\frac {1}{2}}g_{00}g^{00}T_{00}\right)\\\end{matrix}}$

Til laveste orden (0. orden) i h får vi:

$R_{00}={\frac {1}{2}}\kappa T_{00}={\frac {1}{2}}\kappa \mu$

Samtidig har vi:

${\begin{matrix}R_{ab}&=&R_{\ adb}^{d}\\R_{\ adb}^{d}&=&\partial _{b}\Gamma _{\ ac}^{d}-\partial _{c}\Gamma _{\ ab}^{d}\\&&+\Gamma _{\ be}^{d}\Gamma _{\ ac}^{e}-\Gamma _{\ ce}^{d}\Gamma _{\ ab}^{e}\\\Gamma _{\ bc}^{a}&=&g^{ad}\Gamma _{dbc}\\\Gamma _{dbc}&=&{\frac {1}{2}}(\partial _{b}g_{dc}-\partial _{d}g_{bc}+\partial _{c}g_{db})\\&=&{\frac {1}{2}}(\partial _{b}h_{dc}-\partial _{d}h_{bc}+\partial _{c}h_{db})\end{matrix}}$

Vi kan altså se, at Γ bliver første orden i h, hvorfor vi kan negligere alle led, der er af højere orden i Γ. Dermed får vi:

$R_{00}=R_{\ 0a0}^{a}=\partial _{a}\Gamma _{\ 00}^{a}-\partial _{0}\Gamma _{\ 0a}^{a}$

Men eftersom vi har antaget at alle hastigheder er små sammenlignet med lysets og vi basalt set har:

$\partial _{0}={\frac {\partial }{\partial ct}}$

kan vi trygt negligere alle led hvor der afledes med hensyn til tiden. Vi får:

${\begin{matrix}R_{00}&=&\partial _{i}\Gamma _{\ 00}^{i}=\partial ^{i}\Gamma _{i00}\\&=&{\frac {1}{2}}\partial ^{i}\left(\partial _{0}h_{i0}-\partial _{i}h_{00}+\partial _{0}h_{i0}\right)\\&=&-{\frac {1}{2}}\partial ^{i}\left(\partial _{i}h_{00}\right)\\&=&-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}h_{00}\\&=&{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}h_{00}\\&=&\Delta \left({\frac {1}{2}}h_{00}\right)\end{matrix}}$

Det sidste fortegnsskift kommer fordi det at flytte index op eller ned svarer til at gange g på, men eftersom h er meget lille får vi blot at g skifter fortegn på de tre rumlige koordinater. Vi får dermed at:

$\Delta \left({\frac {1}{2}}h_{00}\right)={\frac {1}{2}}\kappa \mu$

Sammenhæng mellem de to teorier

Men hvordan hænger alt det her sammen med accelerationen af den lille test masse, vi har fra Newtons teori? Den geodætiske ligning, som beskriver, hvordan masser bevæger sig i denne (lidt) krumme rumtid, siger:

$0={\frac {Du^{a}}{ds}}={\frac {\partial u^{a}}{\partial s}}+\Gamma _{bc}^{a}u^{b}u^{c}$

eller i vores approximation, for de rumlige koordinater:

${\begin{matrix}{\frac {\partial v^{i}}{\partial t}}&=&-\Gamma _{bc}^{i}u^{b}u^{c}=-\Gamma _{00}^{i}u^{0}u^{0}\\&=&-\Gamma _{00}^{i}=\Gamma _{i00}=-{\frac {1}{2}}\partial _{i}h_{00}\\&=&-{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {1}{2}}h_{00}\right)\end{matrix}}$

Eller på vektorform:

$\mathbf {a} =-\nabla \left({\frac {1}{2}}h_{00}\right)=-\nabla \phi \quad \mathrm {hvis\ vi\ definerer} \quad \phi ={\frac {1}{2}}h_{00}$

Vi er altså endt med et klassisk tyngdepotential, der opfylder:

$\Delta \phi ={\frac {1}{2}}\kappa \mu$

Så teorierne er i overensstemmelse, hvis vi definerer:

$\kappa =8\pi G{\frac {1}{c^{4}}}$

Den sidste faktor kommer ind fordi vi har brugt to forskellige enhedssystemer til definitionen af de to potentialer. Hermed har vi bestemt den frie parameter i Einsteins almene relativitetsteori ud fra kravet om overensstemmelse med Newtons teori i grænsen

$v\approx 0\ ,\ g_{ab}\approx \eta _{ab}$.

Relaterede sider

Almen relativitetsteori

Speciel relativitet

Fysik