Netudjævning

I dette eksempel er der taget udgangspunkt i en udskift af en netudjævning foretaget i LandCAD. Opsætningen af udskiften er naturligvis afhængigt af det program, der er anvendt til netudjævningen, men de fejludtryk mm., der fremgår af udskriften, vil i princippet være det samme uafhængigt af det anvendte software.

Der er 3 typer af inddata i en udjævning: de fastholdte punkter, observationerne og apriorimiddelfejlene.

DE FASTHOLDTE PUNKTER:

Øverst vises det koordinatsystem, der er anvendt. I dette eksempel er der anvendt System-34Jylland. Endvidere vises de fastholdte punkter med deres koordinater. De fastholdte punkter vil i praksis være de anvendte fikspunkter. De fastholdte punkter er de punkter, der udgør referencegrundlaget for de punkter, der skal beregnes koordinater til, i forbindelse med udjævningen.

I dette eksempel er der 3 fastholdte punkter, nemlig punkterne MV121, MV123 og MV268, og vi kan efterfølgende se punkternes koordinater.

OBSERVATIONERNE:

Derudover kan vi se de observationer, der er foretaget i dette net. Der er i alt målt fra 4 opstillinger (LandCAD kalder målinger foretaget fra en opstilling for en gruppe). Der er målt fra punkterne 1000, 1002, 1003 og 1004.

Endvidere kan vi se de enkelte observationer. F.eks. kan vi se, at fra opstilling i punkt 1000 er der målt en retning på 95,966 gon og en vandret afstand på 43,372 meter til punkt MV268. Endvidere er der målt en retning på 119,934 gon og en vandret afstand på 56,403 m til punkt MV123. Endeligt er der målt til punkt 1002 i denne opstilling, hvorefter der er opstillet i punkt 1002, hvorfra der er indmålt 3 punkter.

APRIORIMIDDELFEJL:

Længere nede i udskriften kan vi se den sidste type af inddata, der skal bruges i forbindelse med en udjævning, nemlig apriorimiddelfejlene. Disse kaldes også ofte for forventningen, fordi vi med apriorimiddelfejlene udtrykker hvor nøjagtig vi mener, at vores målinger er. Landmålingsprogrammet bruger apriorimiddelfejlene til bl.a. at vægte de enkelte målinger i forhold til hinanden.

Ifølge vægtrelationen bør hver måling få tildelt en vægt, der svare til målingens nøjagtighed. Imidlertid kender vi ikke nøjagtigheden af den enkelte måling, før vi har lavet udjævningen. For at få fastsat en vægt for den enkelte måling gør vi derimod det, at vi bruger vores generelle viden om målingers nøjagtighed. Den kan vi beregne vha. fejlforplantningsloven (også kaldet fejlophobningsloven), som netop udtrykker de tilfældige fejls teoretiske størrelse på en given måling. Det teoretiske ligger i, at fejlforplantingsloven ikke beregner målingens nøjagtighed, men beregner middelfejlen for en given måling ud fra de givne apriorimiddelfejl.

I en plan udjævning af polære data er der 4 forskellige apriorimiddelfejl. Den første middelfejl er middelfejlen for en retning målt med én sats. Denne middelfejl udtrykker totalstationens nøjagtighed ved måling af retninger. En totalstations retningsmiddelfejl kan findes i instrumentet manual under tekniske data. For nyere instrumenter udgør den ofte 1-2 mgon.

Den afstandsafhængige middelfejl udtrykker middelfejlen for en afstand afhængigt af den længde. Denne værdi kan også findes i instrumentets manual under tekniske data. For nyere instrumenter udgør den ofte 2 ppm.

Grundmiddelfejlen udtrykker middelfejlen for en afstand uafhængigt af længden. Denne værdi kan også findes i instrumentets manual under tekniske data. For nyere instrumenter udgør den ofte 2 mm.

Den sidste type af apriorimiddelfejl er centreringsmiddelfejlen. Denne middelfejl er en kombination af flere faktorer. Den udtrykker hvor nøjagtigt vi kan holde prismet lodret, hvor godt vi kan indstille i midten af prismet med totalstationens kikkert og hvor præcist vi kan stille op over et punkt med det optiske lod. Denne midddelfejl er naturligvis afhængig af landmålerens nøjagtighed og omhu, men kan ofte sættes til 5mm, hvis man har været omhyggelig. 10-15mm, hvis man har været mindre omhyggelig. Ved brug af tvangscentrering kan centreringsmiddelfejlen sættes til 2-3mm.

Fra fejlforplantningsloven ved vi, at middelfejlen på en retning afhænger af retningsmiddelfejlen, centreringsmiddelfejlen, længden fra instrumentet til prismet samt antallet af satser. En hurtig konklusion siger, at jo længere der er mellem instrument og prisme, desto nøjagtighere bliver en måling - dvs. jo mindre bliver middelfejlen.

Vi ved også fra fejlforplantningsloven, at middelfejlen på en afstand afhænger af grundmiddelfejlen, den afstandafhængige middelfejl, afstanden fra instrumentet til prismet samt centreringsmiddelfejlen. En hurtig konklusion siger, at middelfejlen på en afstand er konstant uafhængigt af målte længde, dog med en svag tendens til at længere afstande er mindre præcise end korte afstande - dvs. lange afstande er en større middelfejl end korte afstande.

UDDATA:

Udjævning er grundlæggende bare en avanceret form for gennemsnit, hvor landmålingsprogrammet forsøger at beregne det bedst mulige koordinatsæt til de overbestemte hovedpunkterne ved at kombinere alle de foretagne målinger.

DE UDJÆVNEDE KOORDINATER:

Under de udjævnede koordinater kan vi se de koordinater, som landmålingsprogrammet har beregnet som de bedst mulige koordinater til hovedpunkterne 1000, 1002, 1003 og 1004 ved at vægte alle observationerne i henhold til apriorimiddelfejlene og beregne på disse over de fastholdte fikspunkter.

MIDDELFEJLEN PÅ VÆGTENHEDEN:

Den første parameter, som landmålingsprogrammet udregner, er middelfejlen på vægtenheden. Denne parameter kommer igen fra vægtrelationen og udtrykker hvor godt vægtene generelt er sat i forhold til den samlede målings kvalitet.

Vægtene blev ved hjælp af fejlforplatningsloven beregnet på baggrund af apriorimiddelfejlene, så derfor udtrykker middelfejlen på vægtenheden, hvor godt apriorimiddelfejlene, der jo var vores forventning til målingens kvalitet, passer til målingens faktiske nøjagtighed. Er apriorimiddelfejlene sat korrekt, vil middelfejlen på vægtenheden være 1,0. En middelfejl, der er mindre end 1,00, betyder, at apriorimiddelfejlene er sat for højt, hvilket vil sige, at vi har målt bedre end forventet. Er middelfejlen på vægtenheden derimod over 1,0 betyder det, at apriorimiddelfejlene er sat for lavt, hvilket igen vil sige, at vi har målt dårligere end forventet.

Hvis man genberegner udjævningen med andre værdier for apriorimiddelfejlen, vil de enkelte målinger ændre vægt i forhold til hinanden, hvorfor man - i hvert fald teoretisk - vil få ændret lidt i koordinaterne på de beregnede hovedpunkter, men man vil også få en anden værdi for middelfejlen på vægtenheden.

Ved en fri udjævning er det ikke usædvanligt, at middelfejlen på vægtenheden er mindre end 1,0. Når man derefter laver en fastholdt udjævning, vil middelfejlen på vægtenheden stige til over 1,0 - f.eks. 2,5 som i det viste eksempel. Denne stigning skyldes i det væsentligste netspændinger mellem de anvendte fikspunkter.

Matematisk set vil man kunne ændre på apriorimiddelfejlene således, at middelfejlen på vægtenheden bliver 1,0. Dette er imidlertid ikke interessant. Da apriorimiddelfejlene er relativt kendte størrelser (de instrumentafhængige middelfejl er beregnet på baggrund at målinger på kalibreringsbaner og de personafhængige er fastsat ud fra erfaringen), er vi ikke villige til at ændre for meget i disse værdier. Ved at ændre på apriorimiddelfejlene, vil vi måske ændre maksimalt 1-2 mm i de udjævnede punkters koordinater, hvilket næppe vil have den store interesse for landmåleren. Middelfejlen på vægtenheden kan derfor kun bruges som en indikater for hvor godt, vi har sat apriorimiddelfejlene.

Når middelfejlen på vægtenheden i det viste eksempel er på 2,5 betyder det, at de beregnede vægte generelt skulle være 2,5 gange større, end de er beregnet ud fra apriorimiddelfejlene.

Er middelfejlen på vægtenheden over 4-5-stykker, er det et indicium for, at der er en grov fejl i inddata. Er man ved at lave en fri udjævning, vil en middelfejl på vægtenheden væsentligt over 1,0 udtrykke, at der er en eller flere grove fejl i observationerne. Har man derimod lavet en fri udjævning, hvor middelfejlen på vægtenheden holder sig på omkring 1,0, og middelfejlen på vægtenheden for den efterfølgende fastholdte udjævning afviger væsentligt fra 1,0, er der en eller flere grove fejl i fikspunkterne - f.eks. forkerte koordinater til fikspunkterne, man har taget fejl af to fikspunkter eller et fikspunkt er blevet gravet op og flyttet.

Middelfejlen på vægtenheden fortæller kun, hvorvidt der er grove fejl i inddataene, men siger ikke noget om, hvor fejlen er.

RETTELSER:

Rettelser (også kaldet residualer) kan opdeles i afstandsafvigelser og retningsafvigelser.

Da landmålingsprogrammet på nuværende tidspunkt har beregnet koordinaterne til hovedpunkterne, er den i stand til ud fra afstandformlen at beregne afstanden mellem hovedpunkterne og fikspunkterne. Ved at sammenholde disse afstande med de målte afstande, fås afstandsafvigelserne. F.eks. kan vi ud fra afstandsformlen beregne, at afstanden mellem punkt 1000 og MV268 er 43,349m ud fra de fastholdte og udjævnede koordinater. Vi kan endvidere se under observationerne, at der er målt en afstand mellem punkt 1000 og MV268 på 43,372m. Afvigelsen mellem disse to afstande er afstandsafvigelsen på -0,0229m.

Man kan med andre ord sige, at landmålingsprogrammet har været nødt til at rette -0,0229m i den målte afstand mellem punkt 1000 og MV268 for at få afstanden til at passe med de andre afstande og retninger, der er målt til punkt 1000. En rettelse kaldes også for et residual efter det latinske ord "residuus", som betyder "det tiloversblevne".

På samme måde kan vi se, at beregningsprogrammet har været nødt til at forlænge den målte afstand mellem punkt 1000 og MV123 med 0,0224m for at få afstanden til at passe med de andre retninger og afstande til punkt 1000.

På samme måde fremkommer retningsafvigelserne. I forbindelse med udjævningen beregner programmet retningsvinklen for nulretningen for samtlige opstillinger. Dermed kan programmet beregne den retning, der "burde" være målt fra punkt 1000 til MV268 ved hjælp af de udjævnede og fastholdte koordinater til punkterne. Denne retning kan beregnes til 95,9545 gon, men der er målt 95,966 gon, hvorfor retningsafvigelsen på denne retning er på -0,0115gon.

Vi kan altså for hver eneste målte afstand og retning se hvor meget, som landmålingsprogrammet har måttet rette i observationerne for at få observationerne til de overbestemte punkter til at passe sammen.

P*V:

Nu er vi ikke interesseret i, at landmålingsprogrammet retter for meget i observationerne. Ideelt set burde det ikke været nødvendigt at rette i observationerne, hvis vi havde en målemetode og/eller instrument, der kunne foretage fuldstændigt præcise målinger, men et sådanne instrument er desværre ikke opfundet endnu! Vi har ikke noget imod, at der rettes i vores målinger sålængde, at rettelserne kan henskrives til de tilfældige fejl, men vi ønsker ikke, at der foretages rettelser i vores målinger, hvis rettelsen skyldes, at der er en grov fejl i målingen. Vi ønsker derimod at alle grove fejl opdages og fjernes fra observationerne.

Men hvornår er en rettelse så så stor, at den skyldes en grov fejl?

Det kan P*V heldigvis fortælle os. P*V kan igen udledes fra vægtrelationen. P*V fortæller os hvor stor rettelsen til den enkelte måling er i forhold til målingens vægt. Men vægten blev jo beregnet ved hjælp af fejlforplantningsloven på baggrund af apriorimiddelfejlen.

Ser vi på det specielle tilfælde, hvor middelfejlen på vægtenheden er 1,0, vil landmålingsprogrammet beregne middelfejlen på den enkelte observation. Ser vi igen på afstanden målt fra punkt 1000 til MV268, kan vi ved hjælp af fejlforplantningsloven beregne, at middelfejlen på en afstand af ca. 43m målt med et instrument, der har en afstandsafhængig middelfejl på 2ppm og en centreringsmiddelfejl inklusiv grundmiddelfejl på 5mm, har en middelfejl på 5mm. Vi har ikke dermed sagt, at den målte afstand har en middelfejl på 5mm, men vi har sagt, at man generelt med det pågældende instrument kan måle en afstand på ca. 43m med en middelfejl på 5mm. Eller sagt endnu mere præcist: med det pågældende instrument vil vi i ca. 68% af tilfældene kunne måle en afstand af ca. 43m meter en nøjagtighed på 5mm eller bedre. Vi vil i ca. 95% af tilfældene (2 gange middelfejlen) kunne måle en afstand på 43m med en nøjagtighed på 10mm eller bedre. Og vi vil i ca. 98% af tilfældene (2,5 gange middelfejlen=grovfejlsgræsen) kunne måle en afstand på ca. 43m meter med en nøjagtighed på 13mm eller bedre.

Rettelsen på afstanden fra punkt 1000 til MV268 er på 0,0229m=23mm. Rettelsen er derfor 4,6 gange større end middelfejlen på en måling af en afstand på ca. 43m - dvs. målingen er 4,6 gange middelfejlen, hvorfor den egentlig er fejlbehæftet, idet grovfejlsgrænsen går ved 2,5 gange middelfejlen.

Imidlertid viste middelfejlen på vægtenheden, at vægtene var en faktor 2,5 for lave. Ganger vi derfor middelfejlen på en afstand på ca. 43m (5mm) med middelfejlen på vægtenheden (2,5), får vi, at en afstand på 43m målt med den nøjagtighed, som vi generelt har i dette eksempel, har en middelfejl på 13mm. Afstandsafvigelsen på 23mm udtrykker nu 1,9 gange middelfejlen på afstanden (23mm/13mm=1,8. I eksemplet er P*V=1,9, hvilket skyldes, at programmet regner med flere decimaler, end der er gjort i dette eksempel). Derfor er målingen nu inden for grovfejlgrænsen.

Generelt kan man sige, at hvis middelfejlen på vægtenheden er 1,0, vil P*V udtrykke hvor stor rettelsen på afstanden er i forhold til middelfejlen for den pågældende afstand beregnet ved hjælp af fejlforplatningsloven. P*V må maksimalt være 2,5, idet en P*V større end 2,5 vil falde for grovfejlgrænsen.

P*V beregnes også for retningsafvigelserne. Igen udtrykker P*V hvor stor retningsafvigelsen er i forhold til middelfejlen på den pågældende retning beregnet ud fra fejlforplantningsloven.

Vi ved fra fejlteorien, at en kort retning generelt har en større middelfejl end en lang retning. Vi kan se, at retningsafvigelsen på retningen målt fra punkt 1000 til MV268 er på 0,0115gon, og vi kan se, at retningsafvigelsen på retningen målt fra punkt 1002 til punkt 1000 er på -0,0045gon. Alligevel har begge retninger en P*V på 0,6. Dette skyldes, at retningen fra punkt 1000 til MV268 kun er ca. 43m lang, hvorimod retningen fra punkt 1002 til 1000 er på ca. 131m, hvorfor middelfejlen generelt må være mindre på sidstnævnte retning end førstnævnte, og vi vil derfor også acceptere en større rettelse på førstnævnte retning end sidstnævnte.

Man kan med andre ord sige, at begge retninger er målt lige godt, selv om rettelsen for de to retninger er hhv. 12 og 5mgon. De er målt lige godt, hvis vi vurdere nøjagtigheden af hver retning med den generelle nøjagtighed for tilsvarende retninger.

Hvis man har en afstand eller en retning, der har en P*V over 2,5 er det et indicium for, at den pågældende retning eller afstand er fejlbehæftet med en grov fejl. Er man igang med at lave en fri udjævning, bør den pågældende retning eller afstand udelades. Imidlertid kan man opleve - specielt i et net med få overbestemmelser - at den måling, der har den største P*V ikke er den fejlbehæftede måling. I disse tilfælde må man prøve at gentage beregningerne med forskellige målinger udeladt, før man konkludere på hvilken måling, der er den fejlbehæftede.

Har man lavet den frie udjævning med en middelfejl på vægtenheden tæt på 1,0 og med P*V'er alle under 2,5, og man under den fastholdte udjævning får P*V'er over 2,5 skyldes det, at der er grove fejl i de fastholdte punkter, hvorfor man bør udelade det eller de fastholdte punkter, der har de største P*V'er.

Har man en høj værdi for middelfejl på vægtenheden, vil man ofte se, at P*V'erne alle er små. I dette tilfælde må man kigge på rettelserne på de enkelte målinger for at finde de fejlbehæftede målinger.

DE UDJÆVNEDE KOORDINATER - IGEN:

I forlængelse af de udjævnede koordinater ses middelfejlene på de udjævnede koordinater. Middelfejlene udtrykkes i en middelfejl på y-koordinaten (MY), en middelfejl på X-koordinaten (MX) og en punktmiddelfejl (MP). Middelfejlen på Y-og X-koordinaten kaldes også for en koordinatmiddelfejl. Koordinatmiddelfejlen er endimensional, hvorimod punktsmiddelfejlen er todimensionel. Oftest er man interesseret i punktmiddelfejlen.

Punktmiddelfejlen udtrykker nøjagtigheden af de udjævnede koordinater. Man kan udtrykke det på den måde, at f.eks. de beregnede koordinaterne til punkt 1000 er det bedste koordinatsæt, som landmålingsprogrammet har kunnet beregne ud fra de givne observationer, men ikke nødvendigvis det rigtige koordinatsæt. Der er ca. 68% sandsynlighed for, at det rigtige koordinatsæt til punkt 1000 ligger 1,6 cm eller mindre fra det beregnede koordinatsæt. Samtidigt er der ca. 95% sandsynlighed for, at det rigtige koordinatsæt ligger 3,2 cm eller mindre fra det beregnede koordinatsæt (2 gange middelfejlen). Og endeligt er der ca. 98% sandsynlighed for, at det rigtige koordinatsæt ligger 4,0 cm eller mindre fra det beregnede koordinatsæt (2,5 gange middelfejlen).

Middelfejlen bliver beregnet på baggrund af geometrien i observationerne til og fra punktet, størrelsen af rettelserne samt antallet af overbestemmelser i nettet.

STATISTISKE OPLYSNINGER:

De sidste oplysninger i udskriften har mere generel interesse og kan kun i en mere indirekte bruges til at analysere på udjævningens kvalitet.

Antal iterationer:

Et plant net beregnes flere gange, hvor landmålingsprogrammet for hver beregning prøver at forbedre koordinaterne til hovedpunkterne. Landmålingsprogrammet stopper med at genberegne nettet, når den ikke er i stand til at forbedre koordinaterne mere.

Oftest stopper udjævningen efter 2-4 beregninger.

De fleste landmålingsprogrammer stopper imidlertid ofte automatisk efter 10 beregninger, idet hvis programmet stadigvæk kan forbedre koordinaterne efter så mange beregninger, er det tegn på, at der er grove fejl i observationerne eller fikspunkterne.

Antal overbestemmelser:

Antallet af overbestemmelser angiver hvor mange målinger, der vil kunne udelades, før nettet kun er bestemt. Det betyder imidlertid ikke, at man i det viste eksempel vil kunne udelade 10 tilfældige målinger og stadigvæk kunne beregne nettet, idet et punkt kun er bestemt, hvis der er 2 observationer til dette (to retninger, to afstande eller en afstand og en retning), eller 3 observationer fra det (3 retninger, 2 retninger og en afstand eller to afstande).