Matematik A/Tal og mængder
Fra Wikibooks, den frie samling af lærebøger
I dette kapitel gennemgår vi emnet tal og mængder.
Indholdsfortegnelse |
[redigér] Hvad er et tal?
Et tal er et udtryk for en størrelse eller en mængde. Tal kan f.eks. bruges til at fortælle en anden person, hvor stor en mængde af penge han/hun skal bruge for at købe en bestemt vare, eller lign.
Tal beskrives ved brug af et talsystem. I Danmark og de fleste vestlige lande bruger vi 10-talssystemet, men det er faktisk langt fra det eneste talsystem. Mange kan sikkert også nikke genkendende til romertal, og teknisk anlagte personer kan nikke genkendende til det binære talsystem.
Tallenes udvikling er lang og indviklet, men i hovedtræk kan den beskrives således: I starten havde man kun hele positive tal. Man kendte hverken til negative tal eller 0, og mange steder ej heller til deling (division) af et tal. Alt dette er noget, der først er indført gennem matematikkens historie, ofte for at kunne løse bestemt problemstillinger.
[redigér] Grundlæggende mængder
En mængde er i matematikken et udtryk for den slags tal man arbejder med. Der findes i den grundlæggende matematik seks mængder:
: De naturlige tal. Alle positive, hele tal, fra 1 og op. Dvs. 1, 2, 3, 4, 5, osv.
: De naturlige tal inklusiv nul. Det vil sige alle positive, hele tal, fra og med 0. Dvs. 0, 1, 2, 3,. . .
: De hele tal. Alle hele tal. Dvs. -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, osv.
: De rationale tal. Endelige decimaltal, og brøker. Som fx 3,5 og 34/87. Formelt kan et rationalt tal skrives som 
, hvor 
og 
: De reelle tal. Indeholder også uendelige ikke-periodiske tal, som fx Pi.
: De komplekse tal. Tal på formen a + ib, hvor a og b er reelle tal og i den imaginære enhed.
: Er den tomme mængde. Altså mængden uden elementer. Den bruges for eksempel i forbindelse med opgaver der ikke har nogen løsning.
For de seks første mængder gælder det, at de er indeholdt i hinanden - alle de naturlige tal findes i de hele tal, alle de reelle er også komplekse, osv.
Der findes flere mængder og flere typer af tal. Men disse kommer vi ikke ind på i dette kapitel.
[redigér] Regning med mængder
Ligesom man kan regne med tal, kan man også udføre beregninger med mængder. Lad os sige vi har en grundmængde G = N, og så vælger de to mængder A = {1,3,5,7,9,11,13,15} og B = {2,3,5,7,11,13}. Vi definerer nu følgende begreber:
Foreningsmængden af A og B er alle de elementer, der ligger i A, B eller begge. Den skrives 
. I vores eksempel er 
.
Fællesmængden af A og B er de elementer, der ligger i både A og B, og betegnes 
. I eksemplet er 
.
Differensmængden mellem A og B består af de elementer, der ligger i A, men ikke i B. Den betegnes A\B. Som eksempel: 
og 
Komplementærmængden til A betegnes 
, og er alle de tal, der ligger i grundmængden, men ikke i A. I eksemplet er 
.
[redigér] Definitionsmængde
I matematikken bliver det ofte nødvendigt at lave en definitionsmængde. En definitionsmængde fortæller noget om hvilke tal, og hvilket interval du arbejder i. I den tekniske matematik kan du i nogle ligninger komme ud for, at der faktisk er uendeligt mange løsninger - og så bliver man nødt til at definere, at man kun arbejder i et bestemt område - og så bruge de løsninger der befinder sig dér. I en definitionsmængde skriver man at en given variabel tilhører en bestemt mængde. Hvis variablen t fx tilhører de naturlige tal (N), så skriver man:
Man kan også supplere defintionsmængden med et interval.
