Metriske rum og vektorrum

Målgruppen for denn bog er universitetsstuderende og andre interesserede.

Grundlæggende om mængder, følger, rækker og funktioner

Mængder og tal

Vi definerer en mængde som en vilkårlig samling af objekter. Dette er ikke en tilfredstillende definition, da vi hverken har defineret, hvad vi mener med 'samling' eller med 'objekter', men vi vil acceptere denne definition, da det ikke er muligt at komme med nogen mere præcis definition uden at gå dybere ind i begrebet logik. Objekter tilhørende en mængde betegnes elementer. Elementerne (eller nogle heraf) i en mængde siges selv at udgøre en mængde.

Eksempel

• Alle positive hele tal 1, 2 ... ∞ udgør mængden N
• Alle hele tal -∞ ... -2, -1, 0, 1, 2 ... ∞ udgør mængden Z
• De rationelle tal ${\frac {n}{m}}$ hvor n,m ∈ Z tilhører mængden Q

Definition

Vi definerer følgende mængder således at

• N betegner alle de positive heltal (tallet 'nul' medregnes ikke),
• Z betegner alle heltal (positive, negative og nul),
• Q betegner alle rationelle tal,
• R betegner alle de reelle tal (det vil sige de irrationelle og de rationelle),
• R₊ betegner alle de positive reelle tal,
• og C betegner alle de komplekse tal.

Vi springer hurtigt videre til den næste definition.

Definition

1. En mængde D kaldes en delmængde af X, hvis hvert element i D også er et element i X. Dette betegnes D ⊆ X eller X ⊇ D.
2. To mængder X og Y siges at være lig hinanden, hvis hver mængde er en delmængde af den anden således, at X ⊆ Y og Y ⊆ X. Dette skrives X = Y. Hvis dette ikke er tilfældet, siges de to mængder at være forskellige, hvilket skrives X ≠ Y.
3. En tom mængde er defineret som en mængde, der er en delmængde af alle andre mængder. Dette kaldes for en tom mængde eller en nulmængde og betegnes med ø.
4. En mængde D kaldes en rigtig delmængde af X hvis D ⊆ X og D ≠ X.
5. Foreningen af to mængder X og Y er mængden af elementer, som eksisterer mindst en gang i X og Y. Dette kaldes foreningsmængden og betegnes X ∪ Y. Dette skrives også:$X\cup Y=\{x:x\in X~{\mbox{eller}}~x\in Y\}$
6. Snittet mellem to mængder X og Y er mængden af elementer, som både eksisterer i X og Y. Dette kaldes snitmængden (eller fællesmængden) og betegnes X ∩ Y. Dette skrives også således:$X\cap Y=\{x:x\in X~{\mbox{og}}~x\in Y\}$
7. Det kartetiske produkt mellem to mængder X og Y er mængden af alle ordnede par (x, y), hvor det første element tilhører X, og det andet tilhører Y. Det kartetiske produkt betegnes X × Y, og man skriver: $X\times Y=\{(x,y):x\in X,y\in Y\}$
8. Komplementærmængden af en mængde X er den mængden af elementer, som ikke er i X. Dette betegnes ~X, og man skriver: $\sim X=\{x:x\not \in X\}$

Definitionen af forening, snit og kartetiske produkt kan udvides til mere end to således, at man i det generelle tilfælde skriver:

$X_{1}\cup X_{2}\cup \dots \cup X_{n}=\bigcup _{i=1}^{n}X_{i}$ $X_{1}\cap X_{2}\cap \dots \cap X_{n}=\bigcap _{i=1}^{n}X_{i}$ $X_{1}\times X_{2}\times \dots \times X_{n}=\prod _{i=1}^{n}X_{i}$

Det kartetiske produkt siges at være en mængde af ordnede n-tuples. For det kartetiske produkt kan vi simplificere notationen yderligere i det tilfælde X₁ = X₂ = ... = X_n. Vi skriver da, at

$\prod _{i=1}^{n}X_{i}=\prod _{i=1}^{n}X=X^{n}$

Vi genkender denne notation fra de reelle tal, hvor vi skriver, at punktet P∈ R² for ethvert punkt i to dimentioner. Vi vender nu tilbage til vores definition af den tomme mængde. Det er her nødvendigt at komme med nogle udsagn, som vi samler i en sætning.

Sætning

Mængden ø er tom, hvis - og kun hvis - den ikke har nogen elementer. Desuden er alle tomme mængder lig hinanden.

Bevis

Vi viser først for den ene vej: hvis mængden ø er tom, så har den ingen elementer. Antag, at det modsatte er tilfældet x ∈ ø. I og med at ø skal være en delmængde for enhver anden mængden, har vi ø ∈ X og ø ∈ ~X, hvoraf det følger, at x ∈ X, og x ∈ ~X, hvilket er en klar modstrid.

Vi viser herefter for den anden vej: hvis mængden ø ikke har nogen elementer, så er ø den tomme mængde. Antag, at X ≠ ø er en mængde uden nogen elementer. Da den tomme mængde ø ∈ X (per definition), vil X ikke være en delmængde af ø (jvf. den tidligere definition af, hvornår to mængder er forskellige). Dette betyder, at X må indeholde et element, som ikke er i ø, men dette kan imidlertid ikke passe, da X er en mængde uden elementer. Ergo må X = ø

Tilsidst vil vi vise, at to tomme mængder ø₁ og ø₂ altid er lig hinanden. Da en tom mængde er en delmængde af alle andre mængder, må ø₁⊆ø₂ og ø₂⊆ø₁, hvilket netop er definitionen for, hvornår to mængder er lig hinanden.

Når vi arberjder med mængder, vil vi ofte få brug for følgende basale resultater.

Sætning

Lad X, Y og Z være mængder. Da gælder der

1. ~(~X) = X
2. X ∩ Y = Y ∩ X og X ∪ Y = Y ∪ X (kommutative regel)
3. X ∩ (Y ∩ Z ) = (X ∩ Y) ∩ Z og X ∪ (Y ∪ Z ) = (X ∪ Y) ∪ Z (associative regel)
4. X ∪ (Y ∩ Z ) = (X ∪ Y) ∩ (X ∪ Z) og X ∩ (Y ∪ Z ) = (X ∩ Y) ∪ (X ∩ Z) (distributive regel)

Dette unlader vi at vise. Vi fortsætter derimod med en sætning, som giver to af de mere vigtige sammenhænge mellem mængder.

Sætning - De Morgan's Love

Lad X, Y og Z være mængder. Da gælder der

Z\(X ∩ Y) = Z\X ∪ Z\Y og Z\(X ∪ Y) = Z\X ∩ Z\Y

Denne sætning kan også alternativt

~(X ∩ Y) = ~X ∪ ~Y og ~(X ∪ Y) = ~X ∩ ~Y

Dette vises heller ikke.

Afbildninger

Det næste, vi skal se på, er funktioner (også kaldet afbildninger). '

Definition

Lad X og Y være to vilkålige ikke-tomme mængder (de må gerne være lig hinanden).

1. En funktion f er fra X over i Y en delmængde X × Y med den egenskab, at for hvert x ∈ X findes der præcis et element (x, y) i delmængden f. Man skriver f: X → Y for at understrege, at f afbildeder X ind i Y.
2. Mængden X kaldes definitionsmængden for afbildningen f: X → Y.
3. Hvis (x, y) ∈ f for en vilkårlig funktion f: X → Y og et x ∈ X, så kaldes y billedet af x under f. Vi skriver y = f(x).
4. Lad D_x være en delmængde af X. Da vil mængden D_y = { y : y ∈ Y, y = f(x), hvor x ∈ D_x } være en delmængde af Y. Vi kalder D_y for billedet af mængden D_x under f: X → Y og er betegnet ved f(S). Delmængden f(X) af Y kaldes værdimængden af f.
5. Hvis f(X)=Y siges f at være en afbildning fra X på Y (bemærk at man ikke skriver over i) og f kaldes onto. Man siger også, at f er surjektiv eller en surjektion.
6. Lad x₁, x₂ ∈ X. Hvis f(x₁)=f(x₂) udelukkende, når x₁=x₂, siges funktionen f: X → Y at være injektiv. Dette kaldes til tider også one-to-one, som kan skrives 1-1.
7. En funktion siges at være bijektiv, når den både er surjektiv og injektiv.

Definition

Lad f: X → Y og g: X → Y være to funktioner. Sammensætningen af f med g er funktionen f ο g: X → Z er givet ved: f ο g(x) = f(g(x)), x ∈ X.

Eksterne links

• Forelæsningsnoter i metriske rum (pdf) (lærebog)