Matematik A/Trigonometri
Fra Wikibooks, den frie samling af lærebøger
I dette kapitel skal vi se nærmere på trigonometri. Trigonometri anvendes til at bestemme ukendte sider og vinkler i retvinklede, såvel som vilkårlige, trekanter.
Indholdsfortegnelse |
[redigér] Sinus
Sinus til en vinkel er y-koordinanten til et punkt på enhedscirklen.
Sinus til vinklen v forkortes til sin(v).
Det gælder, at:
− sin(v) = sin( − v)
sin(180 + v) = − sin(v)
sin(180 − v) = sin(v)
[redigér] Cosinus
Cosinus til en vinkel er x-koordinanten til et punkt på enhedscirklen.
Cosinus til vinklen v forkortes som cos(v).
Det gælder, at:
cos(v) = cos( − v)
cos(180 + v) = − cos(v)
cos(180 − v) = − cos(v)
[redigér] Tangens
Tangens til vinklen v er forkortet til tan(v).
Tangens er defineret ved, at:
, forudsat at cos(v) ikke er lig med 0.
tan(v) = a
hældningskoefficienten: 
linjens ligning: y − y0 = a(x − x0)
[redigér] Cotangens
Cotangens til vinklen v forkortes til cot(v).
Modsat tangens.
cot(v) = cos(v) / sin(v)
[redigér] Sekant
En sekant er et liniestykke som går fra ét punkt på en kurve til et andet. Man udregner en sekanthældning ved (x2 − x1) / (y2 − y1).
I forbindelse med differentialregning bruger man en sekanthældning og tilnærmer afstanden mellem punkterne til 0. Herved fremkommer tangenthældningen.
Længden af en sekant kan let beregnes vha Pythagoras' læresætning.
[redigér] Cosekant
[redigér] Sinusrelationerne
For en vilkårlig trekant gælder det, at:
sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c
eller at:
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)
Ved sidste tilfælde gælder det også, at denne brøk er lig med 2*radius i trekantens omskrevne cirkel.
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) = 2R
[redigér] Cosinusrelationerne
For en vilkårlig trekant gælder det, at:
cosA = ((b2 + c2 − a2) / 2bc) , hvilket kan omskrives til: a2 = b2 + c2 − 2bc * cos(A)
cosB = ((a2 + c2 − b2) / 2ac) , hvilket kan omskrives til: b2 = a2 + c2 − 2ac * cos(B)
cosC = ((a2 + b2 − c2) / 2ab) , hvilket kan omskrives til: c2 = a2 + b2 − 2ab * cos(C)
Cosinusrelationen kaldes også for den "udvidede Pythagoras", da Pythagoras sætning a2 + b2 = c2 er tilfældet, når C er = 90 grader og da cos(90) er lig med 0.
