Matematik A/Eksponentielle Funktioner

Fra Wikibooks, den frie samling af lærebøger

Gå til: navigation, Søg

Eksponentielle funktioner anvendes bl.a. til at beskrive en eksponentielle udviklinger, der foregår over tid. Det kunne for eksempel være rentetilskrivning af formue eller gæld, hvor renten er fast. Det kan også bruges til at regne befolkningstal ud med.

Indholdsfortegnelse

[redigér] Definition

En funktion er en eksponentiel funktion, når man har en koefficient gange en potens, hvor eksponenten er den uafhængige variabel. Forskriften for en eksponential funktion er

f(x) = b \cdot a^x \,

hvor b kaldes begyndelsesværdien og a kaldes fremskrivningsfaktoren.

Begyndelsesværdien er det punkt, hvor funktionen skærer y-aksen. Med andre ord, funktionen går altid gennem (0,b). Dette ses ved at udregne funktionsværdien når x = 0, dvs. ved y-aksen:

f(0)=b\cdot a^0 = b\cdot 1 = b

En eksponentialfunktion er en funktion, der kan skrives på formen

f(x) = a^x \,

Det ses, at en eksponentialfunktion også er en eksponentiel funktion (da hvis man sætter b = 1 får man en eksponentialfunktion), men ikke alle eksponentielle funktioner er eksponentialfunktioner.

[redigér] Udseende

Eksponentielle funktioner kan se vidt forskellige ud, alt efter hvilke værdier a og b har.

  • Hvis 0 < a < 1, vil funktionen være eksponentielt aftagende.
  • Hvis a > 1, vil funktionen være eksponentielt voksende.

[redigér] Formler

[redigér] Bestemmelse af en eksponentiel funktion, der går gennem 2 punkter

Hvis man har 2 punkter (x1,y1) og (x2,y2) kan man beregne hvilken eksponentialfunktion, der går gennem disse 2 punkter, dvs. beregne a og b. De beregnes på følgende måde:

a=\sqrt[{x_2-x_1}]{\frac{y_2}{y_1}}

b=\frac{y_1}{a^{x_1}}=\frac{y_2}{a^{x_2}}

Bevis:

Vi vil finde eksponentialfunktionen, der går gennem punkterne (x1,y1) og (x2,y2), dvs. en funktion, der skrives på formen

f(x) = b \cdot a^x

hvor man skal regne ud af a og b er.

Da f(x) skal gå gennem (x1,y1) og (x2,y2), skal følgende ligninger gælde:

\begin{array}{l} f(x_1)=y_1 \\ f(x_2)=y_2 \end{array}

Forskriften for den eksponentelle funktion indsættes. Så fås

\begin{array}{l} b\cdot a^{x_1}=y_1 \\ b\cdot a^{x_2}=y_2 \end{array}

Vi har nu 2 ligninger med 2 ubekendte. Vi starter med at isolere b:

\begin{array}{l} b=\frac{y_1}{a^{x_1}} \\ b=\frac{y_2}{a^{x_2}} \end{array}

Da vi har 2 udtryk for b, kan disse sættes sammen:

\frac{y_1}{a^{x_1}}=\frac{y_2}{a^{x_2}}

Og så isoleres a:

a^{x_2} \cdot y_1=a^{x_1}\cdot y_2

a^{x_2}=a^{x_1}\cdot \frac{y_2}{y_1}

\frac{a^{x_2}}{a^{x_1}}=\frac{y_2}{y_1}

a^{x_2-x_1}=\frac{y_2}{y_1}

a=\sqrt[{x_2-x_1}]{\frac{y_2}{y_1}}

Værdien b beregnes ved at indsætte a-værdien i en af de 2 forskrifter.

\begin{array}{l} b=\frac{y_1}{a^{x_1}} \\ b=\frac{y_2}{a^{x_2}} \end{array}

Det er lige gyldigt hvilken en, da de er lig med hinanden.

Hentet fra "http://da.wikibooks.org/wiki/Matematik_A/Eksponentielle_Funktioner"
Personlige værktøjer