Matematik A/Integralregning

Integralregning

Integralregning er den modsatte regningsart til differentialregning. Det betyder at hvis du differentierer funktion f(x), og du har dens differentialkvotient, og du integrerer denne differentialkvotient, er du tilbage hvor du startede, ved f(x).

Man integrerer efter samme principper som man differentierer. Man har et sæt regneregler, som man bruger til at "omskrive" en funktion til en stamfunktion. Dette gøres delvist ved fastlagte regneregler, og delvist ved brug af integration ved substitution, partiel integration og andre teknikker.

Stamfunktioner

En stamfunktion er den nye forskrift der fremkommer efter man har integreret en funktion. Hedder din funktion f(x), noteres stamfunktionen som F(x). Selve processen hvor f(x) bliver integreret beskrives med symbolet:

$\int f(x)\,dx$

Ubestemt integral

Det ubestemte integrale er en familie af funktioner F(x) + c, der alle er stamfunktioner til f(x).

Bestemt integral

Ved et bestemt integrale forstås en integration imellem 2 værdier. Ved et ubestemt integrale findes stamfunktionen

$F(x)=\int {f(x)\cdot dx}$.

Indsættes grænseværdierne, dvs. de 2 værdier imellem hvilke man er interesseret i at kende det bestemte integrale, skrives dette som:

$\int _{a}^{b}{f(x)\cdot dx}$.

I dette tilfælde integreres der fra a til b.

Resultatet af det bestemte integrale er lig arealet under kurven beskrevet af f(x) imellem x-værdierne a og b. Konkret udregnes arealet som

$F\left(x=b\right)-F\left(x=a\right)$.

Dvs. at man for den fundne stamfunktion F(x) først indsætter b på x's plads, dernæst a hvorefter de to fundne værdier (skalarer) trækkes fra hinanden. Et eksempel på et simpelt bestemt integrale af funktionen

$f(x)=3\cdot x^{2}$

imellem punkterne 2 og 5:

$\int _{2}^{5}{3\cdot x^{2}\cdot dx}=\left[x^{3}\right]_{2}^{5}=5^{3}-2^{3}=125-8=117$.

117 er altså arealet under kurven beskrevet ved $f(x)=3\cdot x^{2}$ imellem punkterne 2 og 5

Regneregler

f(x) F(x) a ax+k x ½x2+k x2 1/3x3+k xn

ln(x)+k ex ex+k eax ax

Partiel integration

Partiel integration bruges ved integration af et produkt af to funktioner. Til dette anvender man formlen:

$\int f(x)\cdot g(x)\,dx=F(x)\cdot g(x)-\int F(x)\cdot g\prime (x)\,dx$

Denne formel kan bevises ved at differentiere begge sider af lighedstegnet.

Volumeberegning

Når grafen for en funktion f, som er kontinuert og ikke-negativ i et interval [a;b], drejes 360° om x-aksen fremkommer der et omdrejningslegeme, hvis volume V kan bestemmes efter formlen:

$V=\pi \int _{a}^{b}{f(x)^{2}dx}$