Matematik A/Tal og mængder

I dette kapitel gennemgår vi emnet tal og mængder.

Hvad er et tal?

Et tal er et udtryk for en størrelse eller en mængde. Tal kan f.eks. bruges til at fortælle en anden person, hvor stor en mængde af penge han/hun skal bruge for at købe en bestemt vare, eller lign.

Tal beskrives ved brug af et talsystem. I Danmark og de fleste vestlige lande bruger vi 10-talssystemet, men det er faktisk langt fra det eneste talsystem. Mange kan sikkert også nikke genkendende til romertal, og teknisk anlagte personer kan nikke genkendende til det binære talsystem.

Tallenes udvikling er lang og indviklet, men i hovedtræk kan den beskrives således: I starten havde man kun hele positive tal. Man kendte hverken til negative tal eller 0, og mange steder ej heller til deling (division) af et tal. Alt dette er noget, der først er indført gennem matematikkens historie, ofte for at kunne løse bestemt problemstillinger.

Beskrivelse af mængder

En mængde er en samling af objekter. Objekterne i en mængde kaldes for mængdens elementer. Der er ikke rigtig nogen regler for hvilken slags objekter der må være i en mængde, så vi kan f.eks. snakke om mængder der indeholder spillekort, personer og farver, man kan endda have mængder der indeholder andre mængder, men i resten af bogen vil vi koncentrere os om mængder der indeholder tal.

Som eksempel kan snakke om mængden af forskellige kulører i et normalt spil kort, som vi vil kalde for A. Fordi et kortspil kun har et meget overskueligt antal kulører kan vi skrive dem op så de er adskilt med kommaer og omgivet af tuborgklammer '{' og '}' således:

A = {ruder ♦, spar ♠, hjerter ♥, klør ♣}

Mængder skrives normalt med store bogstaver, og må ikke indeholde to ens elementer.

Bemærk at rækkefølgen af elementerne i listen er ligegyldig, så vi snakker altså om den samme mængde uanset om vi skriver den som ovenfor, eller vi skriver den som A = {ruder ♦, hjerter ♥, spar ♠, klør ♣}.

Mængder af tal kan opskrives på samme måde som vi gjorde med kulørerne i et kortspil: B = {1, 2, 3, 4, 5}. Vi kan også benytte den dovne skrivemåde til at angive større mængder af tal, hvis det er klart nok hvad vi mener. Her er mængden af hele tal mellem 1 og 100:

C = {1, 2, 3, 4, ..., 97, 98, 99, 100}

Indtil nu har vi snakket om mængder hvor vi kender alle elementerne, og ved hvor mange der er, men det er også ganske muligt at snakke om mængder der har uendeligt mange elementer, som f.eks. mængden af alle de ulige tal

{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ...}

eller mængden af primtal:

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}

Tilhørsforhold

Man kan angive om et element tilhører en mængde. Hvis vi lader B = {1, 2, 3, 4, 5}, kan vi skrive at 3 er et element i mængden B således:

$3\in B$

og vi kan angive at 0 ikke er et element i mængden B således:

$0\not \in B$

Delmængder

Hvis alle elementerne i én mængde A også er elementer i en anden mængde B så siger man at A er en delmængde af B, og skriver $A\subseteq B$ eller $B\supseteq A$. Hvis man har problemer med at huske tegnene kan man med fordel tænke på 'større end' og 'mindre end' tegnene (> og <).

Bemærk at en mængde er altid en delmængde af sig selv $A\subseteq A$.

Grundlæggende mængder

Man arbejder i matematikken med en række grundlæggende mængder, som har deres egne navne og symboler, som vi vil gennemgå her. Bemærk at disse mængder, med undtagelse af den tomme mængde, alle har uendeligt mange elementer.

De naturlige tal

De naturlige tal betegnes med symbolet ℕ, og er alle de hele og positive tal, dvs. fra en og opefter. De naturlige tal er de tal er de første man stifter bekendtskab med når man lærer at tælle.

$\mathbb {N} =\{1,2,3,4,5,6,\dots \}$

Nogle gange bruger man også mængden af de naturlige tal inklusiv nul, som betegnes ℕ₀. Den indeholder som angivet alle tallene fra de naturlige tal, og så nul:

$\mathbb {N} =\{0,1,2,3,4,5,6,\dots \}$

De hele tal

De hele tal, betegnes $\mathbb {Z}$, og indeholder alle hele tal, hvilket også inkluderer hele negative tal og nul.

$\mathbb {Z} =\{\dots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\dots \}$

De rationale tal

De rationale tal, betegnes $\mathbb {Q}$, indeholder alle tal der kan skrives som ${\frac {p}{q}}$ hvor $p\in \mathbb {Z}$ og $q\in N$. Det er med andre ord alle de tal, der kan skrives som en brøk, hvor tælleren er et helt tal, (gerne negativt eller nul) og nævneren er et positivt helt tal.

De rationale tal kan ikke rigtig skrive som de tidligere nævnte mængder, for mellem hvert par af rationale tal, findes uendelig mange andre rationale tal. Det er dog muligt at give en masse eksempler på rationale tal: $3={\frac {3}{1}},{\frac {1}{4}},{\frac {11}{16}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1234}{56789}}$.

Løst sagt kan man sige at rationale tal, er de tal der kan skrives som brøker.

De reelle tal

De reelle tal, betegnes $\mathbb {R}$, indeholder alle tal inklusive rationale tal, og irrationale tal, der ikke kan skrives som brøker (så som ${\sqrt {2}}$ og $\pi$).

Mængden af reelle tal indeholder hele tallinjen.

De komplekse tal

De komplekse tal, betegnet $\mathbb {C}$, kan skrives på formen $a+ib$ hvor $a,b\in \mathbb {R}$ (a og b er altså reelle tal) og i er den imaginære enhed.

De komplekse tal vil ikke blive beskrevet nærmere i denne bog i første omgang. Interesserede kan evt. se Wikipedias artikel om komplekse tal.

Den tomme mængde

Den tomme mængde, betegnet $\emptyset$, er mængden uden elementer. Den bruges for eksempel i forbindelse med opgaver der ikke har nogen løsning.

Mængdernes relationer

For de seks første mængder gælder det, at de er indeholdt i hinanden - alle de naturlige tal findes i de hele tal, alle de reelle er også komplekse, osv. Relationerne kan beskrives således:

$\mathbb {N} \subset \mathbb {N} _{0}\subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$

Der findes flere mængder og flere typer af tal. Men disse kommer vi ikke ind på i denne bog.

Regning med mængder

Ligesom man kan regne med tal, kan man også udføre beregninger med mængder. Lad os sige vi har en grundmængde G = N, og så vælger de to mængder $A=\{1,3,5,7,9,11,13,15\}$ og $B=\{2,3,5,7,11,13\}$. Vi definerer nu følgende begreber:

Foreningsmængden af A og B er alle de elementer, der ligger i A, B eller begge. Den skrives $A\cup B$. I vores eksempel er $A\cup B=\{1,2,3,5,7,9,11,13,15\}$.

Fællesmængden af A og B er de elementer, der ligger i både A og B, og betegnes $A\cap B$. I eksemplet er $A\cap B=\{3,5,7,11,13\}$.

Differensmængden mellem A og B består af de elementer, der ligger i A, men ikke i B. Den betegnes A\B. Som eksempel: $A\setminus B=\{1,9,15\}$ og $B\setminus A=\{2\}$

Komplementærmængden til A betegnes $\complement A$, og er alle de tal, der ligger i grundmængden, men ikke i A. I eksemplet er $\complement A=\{2,4,6,8,10,12,14,16,17,18,19,\dots \}$.

Definitionsmængde

I matematikken bliver det ofte nødvendigt at lave en definitionsmængde. En definitionsmængde fortæller noget om hvilke tal, og hvilket interval du arbejder i. I den tekniske matematik kan du i nogle ligninger komme ud for, at der faktisk er uendeligt mange løsninger - og så bliver man nødt til at definere, at man kun arbejder i et bestemt område - og så bruge de løsninger der befinder sig dér. I en definitionsmængde skriver man at en given variabel tilhører en bestemt mængde. Hvis variablen t fx tilhører de naturlige tal (N), så skriver man:

$t\in N$

Man kan også supplere defintionsmængden med et interval.